Elektrická kapacita

Elektrická kapacita je fyzikální veličina, vyjadřující schopnost vodiče uchovat elektrický náboj. Čím větší kapacita, tím větší množství náboje může být ve vodiči.

Přestože je elektrická kapacita obecně vlastností každého vodiče, využívá se především u kondenzátorů, pro něž je kapacita definována jako množství náboje mezi deskami kondenzátoru o jednotkovém elektrickém napětí (1 V).

Značka: $C\,\!$

Jednotka SI: farad, značka $\mathrm {F}$

Kapacity kondenzátorů dosahují běžně hodnot v pF, proto je možné setkat se s hodnotami např. 3k3 = 3300 pF = 3,3 nF.

Výpočet

Izolované vodivé těleso s nábojem $Q$ vytváří v okolí potenciál $\varphi$ . Pokud dojde ke změně náboje tělesa na $Q^{\prime }=kQ$ , kde $k$ je konstanta, změní se také potenciál na $\varphi ^{\prime }=k\varphi$ . Bude tedy platit:

{\frac {Q^{\prime }}{\varphi ^{\prime }(\mathbf {r} )}}={\frac {Q}{\varphi (\mathbf {r} )}}=k

.

Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa. Je-li $\varphi _{0}$ hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem $Q$ , pak platí:

C={\frac {Q}{\varphi _{0}}}

,

kde $C$ se nazývá elektrická kapacita.

Vlastnosti

Elektrická kapacita je závislá na tvaru a velikosti a materiálu (dielektrika) tělesa. Kapacita osamoceného vodivého tělesa vyjadřuje schopnost tohoto tělesa shromažďovat elektrický náboj. Těleso s menší kapacitou bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso s větší kapacitou (viz výpočet).

Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty

Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je nabité s nábojem $Q_{1}\neq 0$ a druhé je nenabité, tj. $Q_{2}=0$ . Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo $Q_{1}=C_{01}\varphi _{01}^{(0)}$ , kde $C_{01}$ je jeho kapacita a $\varphi _{01}^{(0)}$ je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví indukovaný náboj, který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje $Q_{1}$ na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován konstantní potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na $\varphi _{01}^{(1)}$ a $\varphi _{02}^{(1)}$ .

Potenciálové koeficienty

Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje $Q_{1}$ na hodnotu $Q_{1}^{\prime }=kQ_{1}$ , získáme na tělesech potenciály $k\varphi _{01}^{(1)}$ a $k\varphi _{02}^{(1)}$ . Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem $Q_{1}$ , přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát:

\varphi _{01}^{(1)}=B_{11}Q_{1}

,

\varphi _{02}^{(1)}=B_{21}Q_{1}

,

kde $B_{11},B_{21}$ jsou konstanty.

Použijeme-li stejnou úvahu pro případ $Q_{1}=0$ a $Q_{2}\neq 0$ , dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem $Q_{2}$ a potenciály $\varphi _{01}^{(2)}$ a $\varphi _{02}^{(2)}$ , tj.

\varphi _{01}^{(2)}=B_{12}Q_{2}

\varphi _{02}^{(2)}=B_{22}Q_{2}

.

Superpozicí předchozích případů dostaneme zobecnění pro $Q_{1}\neq 0$ a $Q_{2}\neq 0$ , tj.

\varphi _{01}=\varphi _{01}^{(1)}+\varphi _{01}^{(2)}=B_{11}Q_{1}+B_{12}Q_{2}

\varphi _{02}=\varphi _{02}^{(1)}+\varphi _{02}^{(2)}=B_{21}Q_{1}+B_{22}Q_{2}

.

Pro $n$ těles, kde $i$ -té těleso má náboj $Q_{i}$ lze postupným opakováním předchozího postupu získat:

\varphi _{0i}=\sum _{k=1}^{n}B_{ik}Q_{k}

,

kde $\varphi _{0i}$ označuje potenciál $i$ -tého tělesa. Koeficienty $B_{ik}$ se označují jako potenciálové koeficienty. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.

Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují podmínku:

B_{ij}=B_{ji}

,

tj. matice koeficientů $B_{ik}$ je symetrická.

Kapacitní a influenční koeficienty

Zápis $\varphi _{0i}=\sum _{k=1}^{n}B_{ik}Q_{k}$ představuje soustavu $n$ lineárních rovnic o $n$ neznámých $Q_{i}$ . Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je determinant $B_{ij}$ nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako

Q_{i}=\sum _{k=1}^{n}C_{ik}\varphi _{0k}

tj. matice koeficientů $C_{ik}$ je také symetrická, diagonální prvky $C_{ii}$ se nazývají kapacitní koeficienty a nediagonální prvky $C_{ik}$ ( $i\neq k$ ) se nazývají influenční koeficienty.

Kapacitní koeficient $C_{ii}$ $i$ -tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity $C$ osamoceného tělesa. Kapacita $C$ je vždy kladná, neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na $i$ -tém vodiči, což způsobí, že $C_{ii}>C$ . Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty $C_{ii}$ a $C$ k sobě blížit.

Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že influenční koeficienty jsou vždy záporné ( $C_{ik}<0$ ), pokud se snižuje vliv $i$ -tého vodiče na $k$ -tý vodič, blíží se influenční koeficient nule ( $C_{ik}\rightarrow 0$ ).

Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci kondenzátorů.

Odkazy

Literatura

NEČÁSEK, Sláva. Radiotechnika do kapsy. Praha 1: SNTL, 1981. 33 s. Kapitola Základní elektrotechnické vztahy.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu elektrická kapacita na Wikimedia Commons