Bipartitní graf

Pojmem bipartitní graf nebo sudý graf^[1] se v teorii grafů označuje takový graf, jehož množinu vrcholů je možné rozdělit na dvě disjunktní množiny tak, že žádné dva vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny hranou.

Definice

Graf $G=(V,E)$ je bipartitní, pokud platí $V=V_{1}\cup V_{2},V_{1}\cap V_{2}=\emptyset \;$ a $\forall e=\left\{u,v\right\}\;,e\in E:u\in V_{1}\wedge v\in V_{2}$ . Platí-li navíc $E=V_{1}\times V_{2}$ (tedy v grafu existují všechny hrany s touto vlastností), nazývá se tento graf úplný bipartitní. Značí se $K_{m,n}$ , kde m a n jsou velikosti obou partit.

Vlastnosti

obě partity grafu jsou podle definice nezávislé množiny a graf přímo implikuje jedno možné 2-obarvení
platí i obrácené tvrzení - všechny dvoubarevné grafy jsou bipartitní
jednoduchým algoritmem lze v lineárním čase zjistit, zda je daný graf bipartitní a také nalézt jeho 2-obarvení (průchodem do hloubky)
každý strom je bipartitní
graf je bipartitní právě tehdy, neobsahuje-li kružnici liché délky

K-partitní graf

Pojem bipartitnosti lze zobecnit na libovolné $k\geq 2$ . Je-li G = (V, E) graf a V lze rozložit na k disjunktních podmnožin takových, že žádné dva vrcholy ze stejné podmnožiny nejsou spojeny hranou, pak tento graf nazýváme k-partitním grafem. Je-li tento graf úplný (ve stejném smyslu jako úplný bipartitní graf, viz výše) a počty vrcholu v jednotlivých partitách jsou $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ , pak se tento graf značí $K_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}$ a nazývá se úplný k-partitní graf.