Sylvesterův zákon setrvačnosti

Sylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření kvadratické formy diagonální maticí.

Znění věty

Pro každou kvadratickou formu f existuje báze, vůči které má f diagonální matici s prvky -1,0,1. Navíc, tato matice je, až na pořadí prvků, jednoznačná.

Důkaz

Existence

Buď $A$ matice formy $f$. A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad $A=Q\Lambda Q^{T}$, kde $\Lambda ={\rm {diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}}$. Čili $\Lambda =Q^{T}AQ$ je diagonalizace formy. Pro $-1,1$ na diagonále provedeme úpravu $\Lambda 'Q^{T}AQ\Lambda '$, kde $\Lambda '$ je diagonální matice s prvky $\Lambda '_{ii}=|\lambda _{i}|^{-1/2}$ pro $\lambda _{i}\neq 0$ a $\Lambda '_{ii}=0$ pro $\lambda _{i}=0$.

Jednoznačnost

Nechť existují dvě různé diagonalizace $D,D'$ pro bázi $B=\{w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\}$ a $B'=\{w'_{1},w'_{2},\dots ,w'_{n}\}$ prostoru $V$. Buď $u\in V$ libovolné a nechť má souřadnice $x=[u]_{B}$ a $y=[u]_{B'}$. Pak

$f(u)=x^{T}Dx=x_{1}^{2}+\dots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\dots -x_{q}^{2}+0x_{q+1}^{2}+\dots +0x_{n}^{2}$,

$f(u)=y^{T}Dy=y_{1}^{2}+\dots +y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\dots -y_{q}^{2}+0y_{q+1}^{2}+\dots +0y_{n}^{2}$.

Platí $q=t$, protože $D=S^{T}D'S$ pro nějakou regulární $S$. Proto $D,D'$ mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně $p=s$. BÚNO nechť $p>s$. Definujme prostory$P={\text{span}}(w_{1},w_{2},\dots ,w_{p})$ a $R={\text{span}}(w'_{s+1},w'_{s+2},\dots ,w'_{n})$. Pak ${\text{dim}}(P\cap R)={\text{dim}}P+{\text{dim}}R-{\text{dim}}(P+R)\leq p+(n-s)-n=p-s\leq 1$.

Tedy existuje nenulový $y\in P\cap R$ a pro něj máme $u=\sum _{i=1}^{p}x_{i}w_{i}=\sum _{j=s+1}^{n}y_{j}w'_{j}$ z čehož dostaneme $f(u)=x_{1}^{2}+...+x_{p}^{2}>0$ a zároveň $f(u)=-y_{s+1}^{2}-...-y_{t}^{2}\leq 0$, což je spor.

QED.