Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění funkcí na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině konečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalární funkci.
Méně formálně, diferenciální
-forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety.
Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích
se dá lokálně vyjádřit jako
.
Příklad
Nejznámější příklad je diferenciál funkce
, který se v lokálních souřadnicích dá vyjádřit jako
. Toto vyjádření nezávisí na volbě souřadnic
a pro vektorové pole
je
(derivace funkce
vektorovým polem
).
Definice
je hladká varieta. Zobrazení
nazveme vnější diferenciální
-formou, pokud
je hladké zobrazení a
, kde
je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru
. Často označujeme
symbolem
.
Prostor vnějších diferenciálních
-forem označujeme symbolem
.
Jsou-li
souřadnice z atlasu na
, potom
kde
je multindex délky
a
.
De Rhamův komplex
Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí
, prostor všech diferenciálních forem
. Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál
. Posloupnost
se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v
.