Numerická derivace

Numerická derivace je numerická metoda odhadu derivace funkce na základě hodnoty této funkce v konečně mnoha bodech. Numerickou derivaci obvykle používáme v situaci, kdy nejsme schopni určit derivaci funkce analyticky.

Základní princip

Máme odhadnout derivaci funkce f(x) v bodě x, tj. hodnotu f'(x), na základě znalosti funkčních hodnot v konečně mnoha bodech.

Při odhadu derivace funkce f můžeme vyjít z definice:

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

kde h je z prstencového okolí nuly.

Zvolíme-li „malé“ h různé od nuly, dostaneme odhad

d(x,h)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

.

Derivace znamená směrnici tečny ke grafu funkce v bodě, zde jí nahrazujeme sečnou vedenou body, které se od sebe „velmi málo liší“.

Řád metody a chyba metody

Kvalitu tohoto odhadu můžeme posoudit pomocí Taylorova rozvoje funkce f v okolí nuly. První člen f'(x) je správný výsledek, ostatní členy znamenají Taylorův rozvoj chyby metody. Řád metody numerické derivace je exponent u prvního nenulového členu Taylorova rozvoje chyby. Samozřejmě platí, že čím větší je řád numerické derivace, tím „přesnější“ výsledek vypočteme.

Z praktického hlediska je problém přibližného výpočtu derivací funkce dané tabulkou delikátní a zaokrouhlovací chyby mohou být v některých případech zničující, zejména pokud se jedná o body získané empiricky (tj. sérii naměřených bodů). Proto je vhodné nejdříve data vhodně upravit (např. aproximací podle metody nejmenších čtverců).

Tři ekvidistantní body

V případě, že tabulkové body jsou ekvidistantní, můžeme vzorec pro numerickou derivaci získat derivováním interpolačních vzorců vyjádřených pomocí diferencí. Například tři body f(x-h), f(x) a f(x+h) lze proložit parabolou a odvodit následující aproximaci první derivace f'(x).

f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}

Pro stejné tři body lze také odvodit vzorec pro odhad druhé derivace $f''(x)$ .

f''(x)={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}

Odvození vzorce pro první derivaci

Předpokládejme trojici bodů x-h, x a x+h, které proložíme parabolou $y=ax^{2}+bx+c$ . Pro zjednodušení zápisu zavedeme značení $x_{k-1}=x-h$ , $x_{k}=x$ , $y_{k}=f(x_{k})$ .

Při proložení tří bodů parabolou musí platit následující vztahy.

y_{k}=ax_{k}^{2}+bx_{k}+c

y_{k-1}=a(x_{k}-h)^{2}+b(x_{k}-h)+c=\ldots =y_{k}+ah^{2}-2ahx_{k}-bh

y_{k+1}=a(x_{k}+h)^{2}+b(x_{k}+h)+c=\ldots =y_{k}+ah^{2}+2ahx_{k}+bh

Z rovnice pro $y_{k-1}$ lze vyjádřit $bh$ a dosadit jej do rovnice pro $y_{k+1}$ a získat tak $a$ .

bh=y_{k}+ah^{2}-2ahx_{k}-y_{k-1}

y_{k+1}=y_{k}+ah^{2}+2ahx_{k}+y_{k}+ah^{2}-2ahx_{k}-y_{k-1}=2y_{k}+2ah^{2}-y_{k-1}

a={\frac {y_{k+1}-2y_{k}+y_{k-1}}{2h^{2}}}

Do derivace paraboly v bodě $x_{k}$ dosadíme za $b$ , které v podstatě známe z $bh$ .

b=ah-2ax_{k}+{\frac {y_{k}-y_{k-1}}{h}}

y_{k}'=2ax_{k}+b=ah+{\frac {y_{k}-y_{k-1}}{h}}

Dosadíme za $a$ , převedeme na společný jmenovatel a získáme tak finální vzorec pro aproximaci první derivace.

y_{k}'={\frac {y_{k+1}-2y_{k}+y_{k-1}}{2h}}+{\frac {y_{k}-y_{k-1}}{h}}={\frac {y_{k+1}-2y_{k}+y_{k-1}+2y_{k}-2y_{k-1}}{2h}}

y_{k}'={\frac {y_{k+1}-y_{k-1}}{2h}}

Odvozený vzorec odpovídá „selské úvaze“, kdy směrnice tečny v bodě $x_{k}$ je nahrazena směrnicí sečny mezi body $x_{k-1}$ a $x_{k+1}$ .

Odvození vzorce pro druhou derivaci

Při uvažovaném proložení tří bodů parabolou je možné odvodit i vzorec pro aproximaci druhé derivace $f''(x)$ . Stačí pouze dvakrát derivovat rovnici paraboly a dosadit za $a$ vypočtené v předchozí kapitole.

y=ax^{2}+bx+c

y'=2ax+b

y''=2a

y_{k}''={\frac {y_{k+1}-2y_{k}+y_{k-1}}{h^{2}}}

Ke stejnému vzorci se lze opět dostat „selským rozumem“. Stačí si uvědomit, že druhá derivace je vlastně pouze derivací první derivace a použít jednoduchý vztah pro aproximaci první derivace.

f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

.

f''(x)={\frac {f'(x)-f'(x-h)}{h}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}