Variogram

V prostorové statistice je teoretický variogram $2\gamma (x,y)$ funkce popisující stupeň prostorové závislosti na prostorové náhodné proměnné nebo na stochastickém procesu. Je definován jako odchylka rozdílu mezi polem hodnot ve dvou různých místech (x a y) v celé dané realizaci. (Cressie 1993).

$2\gamma (x,y)={\text{var}}(Z(x)-Z(y))=E\left(|(Z(x)-\mu (x))-(Z(y)-\mu (y))|^{2}\right)$

.

Jestliže prostorový náhodný prvek má konstantní průměr $\mu$, je to ekvivalent očekávání čtvercového nárůstu hodnot mezi lokalitou $x$ a $y$ (Wackenagel 2003) (kde $x$ a $y$ nejsou souřadnice, ale body v prostoru):

$2\gamma (x,y)=E\left(|Z(x)-Z(y)|^{2}\right)$

,

kde $\gamma (x,y)$ samotná je nazývána semivariogram. V případě stacionárního procesu variogram a semivariogram může být prezentován jako funkce $\gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)$ rozdílu h=y-x mezi dvěma místy pouze tímto vztahem (Cressie 1993):

$\gamma (x,y)=\gamma _{s}(y-x)$

.

V případě že je navíc proces izotropní, poté může být variogram a semivariogram prezentován funkcí $\gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})$ vzdálenosti $h=\|y-x\|$ pouze (Cressie 1993):

$\gamma (x,y)=\gamma _{i}(h)$

.

Indexy $i$ nebo $s$ se většinou nepíší. Podmínky jsou používány pro všechny tři formy funkcí. Navíc, výraz "variogram" je občas používán pro označení semivariogramu, a $\gamma$ je občas používána pro variogram, což může být matoucí.

Vlastnosti

Podle (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003), teoretický variogram má následující vlastnosti:

• Semivariogram není záporný $\gamma (x,y)\geq 0$, protože je druhou mocninou.
• Semivariogram $\gamma (x,x)=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(x)-Z(x))^{2}\right)=0$ ve vzdálenosti 0 je vždy 0, protože $Z(x)-Z(x)=0$.
• Funkcí je semivariogram pouze tehdy if it is a conditionally negative definite function, i.e. for all weights $w_{1},\ldots ,w_{N}$ subject to $\sum _{i=1}^{N}w_{i}=0$ a pozicí $x_{1},\ldots ,x_{N}$ it holds:

$\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (x_{i},x_{j})w_{j}\leq 0$

což koresponduje s faktem, že rozdíl $var(X)ofX=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})$ je dán záporem dvojnásobku sumy a musí být nezáporný

• V důsledku toho může být semivariogram nesouvislý pouze na začátku. Výška posunutí na začátku je označována jako nugget nebo nugget effect
• Jestliže kovarianční funkce stacionárního procesu existuje, je spojená s variogramem takto:

$2\gamma (x,y)=C(x,x)+C(y,y)-2C(x,y)$

Pro nestacionární proces musí být přidána mocnina rozdílu mezi očekávanými hodnotami v obou bodech:

$2\gamma (x,y)=C(x,x)+C(y,y)-2C(x,y)+(E(Z(x))-E(Z(y)))^{2}$

• Jestliže stacionární náhodné pole nemá žádnou prostorovou závislost (tj. $C(h)=0ifh\not =0$, semivariogram je konstantní $var(Z(x))$ kdekoliv s výjimkou začátku kde je 0.
• $\gamma (x,y)=E(|Z(x)-Z(y)|^{2})=\gamma (y,x)$ je symetrickou funkcí.
• V důsledku je $\gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)$ sudou funkcí.
• Jestliže náhodné pole je stacionární a ergodic tak, $\lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(x))$ koresponduje s variancí pole. Limita semivariogramu je také nazývána prahem.

Empirický variogram

Pro pozorování $z_{i},\;i=1,\ldots ,k$ v místech $x_{1},\ldots ,x_{k}$ je empirický variogram ${\hat {\gamma }}(h)$ definován jako (Cressie 1993):

${\hat {\gamma }}(h):={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}|z_{i}-z_{j}|^{2}$

kde $N(h)$ značí soubor párů pozorování $i,\;j$ jakými jsou $|x_{i}-x_{j}|=h$ a $|N(h)|$ je počet párů v souboru. (Všeobecně "aproximovaná vzdálenost" $h$ se používá vykonáním jisté tolerance.)
Empirický variogram je použit v geostatistice jako první odhad (teoretického) variogramu potřebného pro prostorovou interpolaci krigingem. Podle (Cressie 1993) pro pozorování $z_{i}=Z(x_{i})$ ze stacionárního náhodného pole $Z(x)$ je empirický variogram s lag tolerance 0 je nezaujatý odhace teoretického variogramu jelikož:

$E[{\hat {\gamma }}(h)]={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}E[|Z(x_{i})-Z(x_{j})|^{2}]={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}2\gamma (x_{j}-x_{i})={\frac {2|N(h)|}{2|N(h)|}}\gamma (h)$

Parametry variogramu

Následující parametry jsou často použity k popsání variogramu:

• nugget $n$: Velikost posunutí semivariogramu v jeho počátku.
• sill $s$: Limita, také práh semivariogramu
• range $r$: Rozsah ve kterém rozdíl variogramu přijde zanedbatelný V modelech s pevným prahem je to vzdálenost která je dosažena první. Pro modely s asymptotickým prahem, je to bráno jako vzdálenost, kde semivariance dosahuje 95 % prahu.

Modely variogramu

Empirický variogram nemůže být počítán pro každou lag vzdálenost $h$ a vzhledem k rozdílům v odhadu není jisté že je správný, jak je definováno výše. Některé geostatistické metody jako je kriging potřebují správné semivariogramy. V aplikované geostatistice jsou empirické variogramy tudíž často upravovány podle modelu funkce zajišťující jejich správnost (Chiles&Delfiner 1999). Některé důležité modely (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993):

• Exponenciální model

$\gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h)$

• Sférický model

$\gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h)$

• Gaussovský model

$\gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h)$

Parametr $a$ má odlišné hodnoty v různých odkazech, díky nejednoznačnosti definice v rozsahu. Např. $a=1/3$ je hodnota použita v (Chiles&Delfiner 1999). $1_{A}(h)$je 1 jestliže $h\in A$ a 0 jindy.

Diskuze

Tři funkce jsou používány pro popsání prostorové nebo časové korelace pozorování: korelogram, kovariance a semivariogram. Poslední je také jednoduše nazýván variogramem. Variogram na rozdíl od semivariogramu ukazuje, kde je značný stupeň prostorové závislosti ve vzorku prostorové.

Variogram je klíčovou funkcí v geostatistice, stejně jako se používá pro "fitování" modelu časové nebo prostorové korelace pozorovaného jevu. Experimentální variogram je používán pro vizualizaci možné prostorové/časové korelace a variogramový model je používán k definování váhy krigingové funkce. Všimněte si, že experimentální variogram je empirický odhad kovariance Gaussovského procesu. Jako takový nemusí být přímo použitelný v krigingu bez omezení nebo dalšího zpracování. To vysvětluje proč je používán pouze omezený počet modelů variogramu: lineární, sférický, gaussovský a exponenciální.
Jestliže je variogram použit k popsání korelace rozdílných proměnných je nazývám křížový-variogram. Křížový variogram je používán v ko-krigingu. V případě, že proměnná je binární nebo reprezentuje třídy hodnot, poté mluvíme o indikátoru variogramu. Indikátor variogramu je používán v indikátor krigingu.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Variogram na anglické Wikipedii.

Literatura

• Cressie, N., 1993, Statistics for spatial data, Wiley Interscience
• Chiles, J. P., P. Delfiner, 1999, Geostatististics, Modelling Spatial Uncertainty, Wiley-Interscience
• Wackernagel, H., 2003, Multivariate Geostatistics, Springer
• Burrough, P A and McDonnell, R A, 1998, Principles of Geographical Information Systems
• Isobel Clark, 1979, Practical Geostatistics, Applied Science Publishers

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Variogram na Wikimedia Commons