Relativistická hmotnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},

kde m_0 je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), v je rychlost tělesa vůči pozorovateli a c rychlost světla.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je \omega, probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

m_1+m_2 = M,\,
v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,
m'_1+m'_2 = M',\,
v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},
v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},
V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.

Pro jednoduchost položíme v_1=0. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

(m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

m_1={}^0m_1 f(0),\,
m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,
m_2={}^0m_2 f(v_2),\,
m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,

Pro v_2=\omega tedy (za podmínky f(0) = 1) získáme

f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.