Limes superior a limes inferior

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Postupné přibližování \sup_{m\ge n} x_m k \limsup x_n a obdobně pro limes inferior

V matematice, zejména v matematické analýze, se pod limes superior a limes inferior dané posloupnosti rozumí její omezení seshora, respektive zespoda, „v nekonečnu“, tedy hodnota, přes respektive pod kterou se posloupnost dostane pouze v konečně mnoha případech, ale které se skutečně nekonečně jejích hodnot nekonečně blízko blíží, nebo jí dokonce nabývají. Jedná se o největší respektive nejmenší hromadný bod dané posloupnosti.

Uvažují se nejčastěji v reálných číslech.

Případ posloupností v reálných číslech[editovat | editovat zdroj]

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Buď (a_n) reálná posloupnost. Je-li (a_n) shora ohraničená, klademe limes superior

\limsup a_n := \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\ge n} a_k\right)

V opačném případě klademe \limsup a_n = \infty.

Je-li (a_n) zdola ohraničená, klademe limes inferior

\liminf a_n := \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\ge n} a_k\right)

V opačném případě klademe \liminf a_n = -\infty.

Limes superior a limes inferior tedy pro reálná čísla nabývají hodnoty z množiny rozšířených reálných čísel.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Limes superior a limes inferior vždy existují (na rozdíl například od limity, která existovat nemusí)
  • Limita posloupnosti a_n existuje právě tehdy, když \liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty} (a_n).
  • \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n
  • -\liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty} (-a_n).

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet II.. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1956.