L'Hospitalovo pravidlo

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

L'Hospitalovo pravidlo, které bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes , umožňuje v některých případech vypočítat limitu podílu dvou funkcí. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí, tj.

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Předpoklady

Nechť $a$ je buď reálné číslo, nebo $\pm \infty$ (viz rozšířená reálná čísla) a nechť f a g jsou funkce z $\R$ (nebo jeho části) do $\R$. Věta platí za těchto předpokladů:

Nenulovost

Funkce $g\,\!$ i $g'\,\!$ musí být nenulové na nějakém okolí čísla $a$ (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou). Pokud např. $a=+\infty$, pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval $(r\,,\,+\infty)$ pro nějaké $r$, takže například funkce $g(x) = \sin x\,\!$ předpoklad nesplňuje.

Požadovaný typ limity

Musí platit jedna z podmínek a) nebo b):

a) $\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a}g(x) = 0\,\!$

b) $\lim_{x\to a}f(x) = \pm \infty, \,\,\lim_{x\to a}g(x) = \pm\infty \,\!$

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo obě limity nevlastní. Tyto případy jsou nazývány "limita typu $\frac{0}{0}$" resp. "limita tvaru $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$".

Existence limity na pravé straně

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita :$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Symbolem $f'(x)\,\!$ značíme derivaci funkce $f(x)\,\!$.

Tvrzení

L'Hospitalovo pravidlo říká, že za těchto předpokladů existuje limita

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$

a platí

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Tj. limita podílu funkcí se rovná limitě podílu jejich derivací.

Příklady

Limita $\frac{\sin x}{x}$ v nule

Chceme vypočítat $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\,\!$. Všechny předpoklady jsou splněny; poslední z nich (existenci limity podílu derivací) ověříme takto:

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = \lim_{x\to 0}\cos x = \cos 0 = 1 \,\!$, protože funkce kosinus je spojitá na celém $\R\,\!$.

Pravidlo tedy pro náš případ lze použít a platí $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \,\!$.

Limita $\frac{x^2-3}{x^5+6}$ v nekonečnu

Graf funkce k příkladu.

Chceme vypočítat $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3}{x^5+6}$

Máme tedy $f(x) = x^2-3, g(x) = x^5+6$.

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý - je nutno ověřit existenci $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{5x^4}$.

Toto ověření lze provést další aplikací L'Hopitalova pravidla na tuto novou limitu: Limita podílu druhých derivací je $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{20x^3} = 0$.

Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady druhé aplikace L'Hopitalova pravidla, proto platí $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{5x^4} = 0$. Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hopitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3}{x^5+6} = 0$.

Význam předpokladů

V následujících případech tvrzení L'Hospitalova pravidla neplatí, protože nejsou splněny předpoklady.

Typ limity

Pravidlo platí jen pro limity typu $\frac{0}{0}$ či $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$. Příkladem funkcí, které tento předpoklad nesplňují, je $f(x) = x+2, \,g(x) = x+1$. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity podílu derivací

Pokud neexistuje $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, nelze z toho usuzovat, že neexistuje ani $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$. Příkladem jsou funkce $f(x) = x^2\sin\frac 1{x^2}\,,\,\,g(x) = x\, \,\!$ pro $\,a=0\,\!$.

Pro ně platí $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac 1{x^2}\,+\, \frac{-2}{x}\cos(\frac 1{x^2}) \,\!$

První člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí $\frac 2x\,\!$ a $\frac {-2}x \,\!$. Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule - což plyne z toho, že pro každé $x$ leží $\frac{f(x)}{g(x)}$ v intervalu $< -|x| \,,\, |x| > \,\!$.

Reference

.