Pythagorejská trojice

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a,b,c takových, že

a² + b² = c².

Název Pythagorejská trojice je odvozen od Pythagorovy věty, která uvádí podobný vztah pro strany pravoúhlého trujúhelníka. Nejznámější příklad pytagorejské trojice jsou čísla 3,4,5. Libovolný násobek Pythagorejské trojice je také Pytaghorejská trojice.

Generátory pythagorejských čísel

Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí pro $a, b, c =f()\,\!$. Dosazením proměnné, nebo proměnných do funkcí se vypočtou - vygenerují jednotlivé hodnoty pyhtagorejských čísel $a,b,c\,\!$.

Nejvhodnější jsou takové funkce, které by zahrnovaly všechna možná řešení a byla přitom vyloučena ta řešení, která jsou násobky jiných řešení.

Násobnými řešeními jsou takové Pythagorejské trojice, která jsou celočíselným násobkem jiné pytagorejské trojice.

Klasické řešení

Klasický generátor pythagorejských čísel je funkce $a, b, c = f(x, y)\,\!$ kdy $x, y\in\mathbb{N}$ a $x>y\,\!$. Existuje ve tvaru:

$a=2xy\,\!$

$b=x^2-y^2\,\!$

$c=x^2+y^2\,\!$

Protože tento generátor používá dvou proměnných, je velmi variabilní, a tak dává velké množství řešení, ale mnohá řešení jsou násobná.

Jiná řešení

Mohou existovat i jiné generátory pythagorových čísel, které pak mají specifické vlastnosti.

Zde uvedené genegátory například dokáží vygenerovat všechny možné kombinace pro definované podmínky, násobné kombinace jsou ale generátorem vynechány.

Za podmínky, že $c-b=1\,\!$, pak existuje generátor

$a=2n+1\,\!$

$b=2n^2+2n\,\!$

$c=2n^2+2n+1\,\!$

a za podmínky $c-b=2\,\!$, potom funguje generátor

$a=4n\,\!$

$b=4n^2-1\,\!$

$c=4n^2+1\,\!$