Formule (logika)

Formule (také predikátová formule, srov. výroková formule) je v matematice a logice syntaktický pojem reprezentující nějaké (matematické) tvrzení v jisté formální teorii predikátové logiky prvního řádu.

Definice

Nechť L je jazyk. V následující definici uvažujeme pouze dvě logické spojky $\neg$ a $\Rightarrow$ a jeden kvantifikátor $\forall$ . Zbylé spojky a kvantifikátor lze zavést definicemi.

Term

Termy jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina termů je nejmenší množina splňující:

Každá proměnná je term.
Každý konstantní symbol c jazyka L je term.
Kdykoli F je n-ární funkční symbol jazyka L a $t_{1},\ldots ,t_{n}$ jsou termy, pak $F(t_{1},\ldots ,t_{n})$ je term.
Nic, co nevzniklo pomocí předchozích pravidel, není term, neboli každý term vznikne konečným použitím tří výše uvedených pravidel

Atomická formule

Atomická formule jazyka L je výraz tvaru $P(t_{1},\ldots ,t_{n})$ , kde P je n-ární predikátový symbol jazyka L a $t_{1},\ldots ,t_{n}$ jsou termy nebo (jde-li o logiku s rovností) tvaru $\,t_{1}=t_{2}$ , kde $\,t_{1},t_{2}$ jsou termy.

Formule

Formule jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina formulí je nejmenší množina splňující:

Každá atomická formule je formule
Když $\varphi$ je formule, x proměnná, pak $\neg \varphi$ a $(\forall x)(\varphi )$ jsou formule.
Když $\varphi ,\psi$ jsou formule, pak $\varphi \Rightarrow \psi$ je formule.

Uzavřená a otevřená formule

Formule se nazývá otevřená, neobsahuje-li žádný kvantifikátor, a uzavřená, je-li každá proměnná v ní obsažená kvantifikována (tj. je na ni aplikován některý kvantifikátor). Uzavřená formule se nazývá též sentence.

Například:

formule $x+y=z$ je otevřená ale ne uzavřená
formule $(\forall x)(\exists y)(x+y=xy)$ je uzavřená ale ne otevřená
formule $(\forall x)(x<y)$ není ani otevřená ani uzavřená
formule $0+0=0$ je otevřená i uzavřená

Volná a vázaná proměnná, substituovatelnost

Podformulí formule $\varphi$ je každá formule, která je částí formule $\varphi$ .

Říkáme, že proměnná x je vázaná ve formuli $\varphi$ , jestliže existuje podformule formule $\varphi$ ve tvaru $(\forall x)\psi (x)$ . Říkáme, že proměnná x je volná ve formuli $\varphi$ , jestliže x má výskyt v nějaké podformuli $\,\psi$ formule $\varphi$ takové, že $\,\psi$ není podformulí žádné formule tvaru $(\forall x)(\chi (x))$ .

Říkáme, že term t je substituovatelný za proměnnou x do formule $\varphi$ , jestliže x není volná v žádné podformuli tvaru $(\forall y)\psi$ , kde proměnná y má výskyt v termu t. Tedy, pokud náš term t obsahuje proměnnou y, která je v místě substituce vázaná, musí tam být i x vázaná.

Je-li x proměnná, t term a $\varphi$ formule, $\varphi (x/t)$ značí formuli, která vznikne nahrazením (substitucí) termu t za každý volný výskyt proměnné x v $\varphi$ .

Otevřené formule nemají vázané proměnné, uzavřené formule nemají volné proměnné.

Související články