Dvojčlen

Dvojčlen nebo binom (lat.) je v algebře součet nebo rozdíl dvou jednoduchých členů (monomů), který se nejčastěji zapisuje v závorkách jako (a + 7), (ax + b), (ax - b) a podobně. Dvojčlen je zvláštní případ mnohočlenu (polynomu) se dvěma členy.

Aritmetické operace s dvojčleny

Pro dva (lineární) dvojčleny (a₁x + b₁) a (a₂x + b₂) platí, že:

• (a₁x + b₁) + (a₂x + b₂) = ((a₁ + a₂)x + (b₁ + b₂))
• (a₁x + b₁) - (a₂x + b₂) = ((a₁ - a₂)x + (b₁ - b₂))

• Součin dvojčlenů $(ax+b)$ a $(cx+d)$ je:

$(ax+b)(cx+d) = acx^2+adx+bcx+bd.$

• Dvojčlen $a^2 - b^2$ lze rozložit na součin dvou dvojčlenů

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).$

Druhá mocnina dvojčlenu (a + b)²

• Povýšení dvojčlenu na n-tou mocninu, jež se zapíše jako

$(a + b)^n$,

lze rozvinout pomocí binomické věty, anebo pomocí Pascalova trojúhelníku. V jednoduchém případě dvojčlenu $(p+q)^2$ se mocnina vypočte jako součet čtverce prvního členu, dvojnásobného součinu obou členů a čtverce druhého členu: $p^2+2pq+q^2$. Geometrické znázornění je na vedlejším obrázku.

Je to zvláštní případ obecnějšího vzorce: $a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}$.

• Zajímavý příklad je vzorec pro tzv. Pythagorejské trojice: pro m < n nechť platí $a=n^2-m^2$, $b=2mn$ a $c=n^2+m^2$. Potom platí, že $a^2+b^2=c^2$.

Odkazy

Literatura

• Ottův slovník naučný, heslo Binom. Sv. 4, str. 76

Související články

• Binomická věta
• Mnohočlen

Externí odkazy

• Tento článek využívá informace z odpovídajícího článku anglické Wikipedie.