Boothův algoritmus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Boothův algoritmus je algoritmus na násobení dvou binárních čísel se znaménkem v dvojkovém doplňku.

Algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Počet bitů násobence je x, počet bitů násobitele je y.

  1. Nakreslíme si tři řádky po x + y + 1 místech (bitech), označíme je A, B a C.
  2. Nejvyšších (nejvíce nalevo) x bitů každého řádku se vyplní v dvojkovém doplňku takto:
    • A: násobenec
    • B: minus násobenec
    • C: nuly
  3. Dalších y bitů každého řádku se vyplní takto:
    • A: nuly
    • B: nuly
    • C: násobitel
  4. Do posledního bitů každého řádku se napíše nula.
  5. Poté se následující kroky opakují y-krát:
    1. Pokud jsou poslední dva bity řádku C:
      • 00 nebo 11: nedělá se nic
      • 01: C = C + A. Přetečení se ignoruje.
      • 10: C = C + B. Přetečení se ignoruje.
    2. Řádek C se (aritmeticky) posune o jedno místo doprava.
  6. Poslední bit součinu (řádku C) se zahodí.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

3 × -4:

  • A = 0011 0000 0
  • B = 1101 0000 0
  • C = 0000 1100 0
  • Cyklus se provede čtyřikrát:
    • C = 0000 1100 0. Poslední dva bity jsou 00.
    • C = 0000 0110 0. Posun vpravo.
    • C = 0000 0110 0. Poslední dva bity jsou 00.
    • C = 0000 0011 0. Posun vpravo.
    • C = 0000 0011 0. Poslední dva bity jsou 10.
    • C = 1101 0011 0. C = C + B.
    • C = 1110 1001 1. Posun vpravo.
    • C = 1110 1001 1. Poslední dva bity jsou 11.
    • C = 1111 0100 1. Posun vpravo.
  • Výsledek je 1111 01002 = -1210.

Proč algoritmus funguje[editovat | editovat zdroj]

Uvažme kladný násobitel sestávající z posloupnosti jedniček obklopené nulami. Např. 00111110. Součin je dán:

 N \times \,^{\prime\prime} 0 \; 0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 0 \,^{\prime\prime} = N \times (2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1) =  N \times 62 ,

kde N je násobenec. Počet operací se dá redukovat na dvě přepsáním téhož jako

 N \times \,^{\prime\prime} 0 \; 1 \; 0 \; 0 \; 0 \; 0 \mbox{-1} \; 0 \,^{\prime\prime} = N \times (2^6 - 2^1) = N \times 62

Součin lze pak dostat jedním přičtením a jedním odečtením násobence. Tento postup se dá rozšířit na jakýkoliv počet posloupností jedniček v násobiteli (včetně jedné jedničky v kuse). Čili:

 N \times \,^{\prime\prime} 0 \; 0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 0 \; 1 \; 0 \,^{\prime\prime} = N \times (2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^1) = N \times 58
 N \times \,^{\prime\prime} 0 \; 1 \; 0 \; 0 \mbox{-1} \; 1 \mbox{-1} \; 0 \,^{\prime\prime} = N \times (2^6 - 2^3 + 2^2 - 2^1) = N \times 58

Boothův algoritmus se drží tohoto postupu přičtením, pokud narazí na první číslici z posloupnosti jedniček (0 1), a odečtením, pokud narazí na konec posloupnosti (1 0). Toto funguje také pro záporný násobitel. Jestliže se jedničky v násobiteli vyskytují v dlouhých blocích za sebou, vykoná Boothův algoritmus méně přičítání a odečítání než normální multiplikační algoritmus

Historie[editovat | editovat zdroj]

Algoritmus byl vynalezen Andrewem Boothem v roce 1951 při výzkumu krystalografie na Univerzitě v Birkbecku. Booth používal kalkulátory, které měly rychlejší operaci posunu než sčítání, a vytvořil proto algoritmus, aby je urychlil.