Bealova domněnka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Bealova domněnka je nápadem amatérského matematika jménem Andrew Beal.

Při zkoumání a zevšeobecňování Velké Fermatovy věty roku 1993 sestavil Beal následující odhad:

Jestliže  A^k +B^l = C^m, \,

kde A, B, C, k, l, a m jsou kladná celá čísla, přičemž k, l, m > 2, pak A, B, C musí mít společného dělitele ve svém prvočíselném rozkladu.

Beal nabídl cenu 1 000 000 dolarů (zdroj: ČTK, 05.06.2013) za dokázání této domněnky, případně za nalezení protipříkladu.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pro ilustraci řešení 33 + 63 = 35 byl dán základ se společným dělitelem v prvočíselném rozkladu 3 a řešení 76 + 77 = 983 o společném děliteli 7. Pak má rovnice skutečně nekonečno řešení, například ve tvaru:

 \left[a \left(a^m + b^m\right)\right]^m + \left[b \left(a^m + b^m\right)\right]^m = \left(a^m+b^m\right)^{m+1}

pro všechna a, b, m > 3. Nicméně žádné řešení rovnice není protipříkladem k domněnce, protože základy mají společný faktor prvočíselného rozkladu, kterým je a^m + b^m.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Při počítačovém zpracování za použití AID při modulární aritmetice, byla podmínka ověřena pro všech šest proměnných až do 1000. Pak tedy v každém protipříkladu musí být alespoň jedna proměnná větší než tisíc.

Výrok, že k, l, m (namísto A, B, C) musí mít společný faktor v prvočíselném rozkladu není pravdivý. Například: 27^4 +162^3 = 9^7.

Bealova domněnka je zevšeobecněním Velké Fermatovy věty opírající se o případ: k = l = m. Jestliže a^n + b^n = c^n kde n \ge 3, pak buď základy jsou nesoudělné nebo sdílejí společného dělitele v prvočíselném rozkladu. Jestliže jej sdílejí, můžeme jej vytknout z rovnice a získat tak menší nesoudělné základy.

Domněnka neplatí pro širší základnu Gaussových celých čísel. Byla vypsána odměna $50 za protipříklad. Fred W. Helenius poté ukázal, že (−2 + i)3 + (−2 − i)3 = (1 + i)4

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Beal's conjecture na anglické Wikipedii.