Airyho funkce

Airyho funkce $\mathrm {Ai} (x)$ je vyšší transcendentní funkce pojmenovaná podle britského matematika a astronoma George Airyho. Funkce $\mathrm {Ai} (x)$ a s ní příbuzná funkce $\mathrm {Bi} (x)$ tvoří řešení diferenciální rovnice

y''-xy=0,

která je známa jako Airyho nebo Stokesova rovnice. Přesné řešení této rovnice má tvar

y=c_{1}\mathrm {Ai} (x)+c_{2}\mathrm {Bi} (x),

kde $c_{1}$ a $c_{2}$ jsou neznámé reálné (popřípadě komplexní) koeficienty (integrační konstanty). Toto řešení má charakteristický tvar, kde funkce prvně osciluje, poté však exponenciálně roste nebo klesá.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Airyho funkce je definována integrálním tvarem

\operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t.

A podobně i funkce $\mathrm {Bi} (x)$ .

\operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\mathrm {d} t

V grafu jsou vidět výše zmíněné vlastnosti. Obě funkce pro $x<0$ oscilují, ovšem v bodě $x=0$ se situace změní. Pro $x>0$ funkce $\mathrm {Ai} (x)$ exponenciálně klesá a funkce $\mathrm {Bi} (x)$ naopak exponenciálně roste.

Užití[editovat | editovat zdroj]

Kvantová mechanika[editovat | editovat zdroj]

Airyho funkci obsahuje například vlnová funkce částice, která se pohybuje v jednodimenzionálním prostoru a současně v homogenním potenciálovém poli. Schrödingerova rovnice pro takovou částici vypadá následovně:

E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+Fx\Psi ,

kde $E$ je celková energie částice, $\Psi$ její vlnová funkce a $m$ její hmotnost. $\hbar$ značí redukovanou Planckovu konstantu, $x$ polohu částice a $F$ sílu, která na částici působí. Rovnici upravíme do přehlednějšího tvaru.

{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}={\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\Psi

Vlnová funkce částice pak má předpis

\Psi (x)=c_{1}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right)+c_{2}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right),

kde $c_{1}$ a $c_{2}$ jsou komplexní koeficienty. Pokud však máme částici naprosto volnou v celém jednodimenzionálním vesmíru a nemáme nijak specificky dané podmínky pro jeho hranice, bude mít vlnová funkce trochu jednodušší tvar. Jde o to, že pro $x$ menší než ${\frac {E}{F}}$ (v místech, kde je energie částice větší než potenciální) má částice oscilující vlnovou funkci, kdežto v případě kdy částice překoná vzdálenost ${\frac {E}{F}}$ , začne její funkce exponenciálně klesat nebo růst. Tento jev nastane právě proto, že se částice v takovém momentu dostane do poloh s vyšším potenciálem, než je mechanická energie částice. Z klasické mechaniky by se do takových míst nemělo těleso nikdy dostat, ale kvantová mechanika tento děj připouští, dokonce pro něj má i speciální označení: tunelový jev. Nicméně z logiky věci a našich zkušeností s kvantovým tunelováním by pravděpodobnost výskytu částice měla s rostoucí polohou neustále slábnout a blížit se k nule. Není totiž možné, aby se částice nacházela v místě, na jehož dosažení její energie nestačí, mnohonásobně pravděpodobněji než v místech, kterých může bezpečně dosáhnout i bez tunelování. Natož pak, aby pravděpodobnost rostla se zvyšující se polohou $x$ . Musí tomu být přesně naopak. Tuto podmínku lze vyjádřit matematicky jako

\lim _{x\rightarrow \infty }\Psi (x)=0.

Této podmínky je možné dosáhnout pouze položením $c_{2}=0$ . Vlnová funkce tak získává mnohem elegantnější tvar.

\Psi (x)=c_{1}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right)

Koeficient $c_{1}$ je možné určit normalizací vlnové funkce. Menší problém je, že hustota pravděpodobnosti $\rho (x)=|\Psi |^{2}=\left(|c_{1}|\operatorname {Ai} (x)\right)^{2}$ po integrování na celém prostoru nedává konečný výsledek, takový integrál je divergentní. Tím pádem funkci nelze normalizovat. Na druhou stranu pokud prostor ohraničíme zleva a částice se bude moct pohybovat pouze v intervalu $\langle x_{0},\infty )$ , kde $x_{0}$ tvoří určitý hraniční bod tohoto světa na polopřímce, integrál hustoty pravděpodobnosti v tomto intervalu bude konvergentní a vlnovou funkci bude možné normalizovat.

\int _{x_{0}}^{\infty }\rho (x)\,\mathrm {d} x=|c_{1}|^{2}\int _{x_{0}}^{\infty }{\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right)}^{2}\,\mathrm {d} x=1

Zároveň se neporuší logická podmínka pro tunelování $\lim _{x\rightarrow \infty }\Psi (x)=0$ , protože směrem doprava, do vyšších potenciálních energií má částice volný přístup. Kdybychom hypotetický 1D vesmír omezili zprava, podmínka $c_{2}=0$ by už nemusela být nezbytnou.