Χ² rozdělení

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Rozdělení $\chi^2$ (chí kvadrát) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice. Velký význam má pro určování zdali množina dat vyhovuje dané distribuční funkci.

Rozdělení pravděpodobnosti

Rozdělení $\chi^2$ o $n$ stupních volnosti, které se označuje $\chi^2(n)$, je rozdělení náhodné veličiny $X = \sum_{i=1}^n U_i^2$, kde $U_i$ je $n$ vzájemně nezávislých náhodných veličin s rozdělením $\operatorname{N}(0,1)$.

Rozdělení $\chi^2(n)$ má $n=1,2,3,...$ hustotu pravděpodobnosti

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro } x\leq 0 \\ \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)2^{\frac{n}{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1} & \mbox{ pro } x>0 \end{matrix}\right.$

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení $\chi^2(n)$ je

$\operatorname{E}(X) = n$

Rozdělení $\chi^2(n)$ má rozptyl

$\sigma^2(X) = 2n$

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení $\chi^2(n)$ má tvar

$m(z) = {(1-2z)}^{-\frac{n}{2}}$

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti	q0,95	q0,99
1	3,84	6,63
2	5,99	9,21
3	7,81	11,34
4	9,49	13,28
5	11,07	15,09
10	18,31	23,21
15	25,00	30,58
20	31,41	37,57
30	43,77	50,89
40	55,76	63,69
50	67,50	76,15
N velké (>100)	$N+1,65 \sqrt{2N}$	$N+2,33 \sqrt{2N}$

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Vlastnosti

Rozdělení $\chi^2(n)$ se s rostoucím $n$ blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou $n$ a rozptylem $2n$.

Související články

• Rozdělení pravděpodobnosti
• Normální rozdělení