Χ² rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rozdělení \chi^2 (chí kvadrát) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice. Velký význam má pro určování zdali množina dat vyhovuje dané distribuční funkci.

Rozdělení pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení \chi^2 o n stupních volnosti, které se označuje \chi^2(n), je rozdělení náhodné veličiny X = \sum_{i=1}^n U_i^2, kde U_i je n vzájemně nezávislých náhodných veličin s rozdělením \operatorname{N}(0,1).

Rozdělení \chi^2(n)n=1,2,3,... hustotu pravděpodobnosti

f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro } x\leq 0 \\ \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)2^{\frac{n}{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1} & \mbox{ pro } x>0 \end{matrix}\right.

Charakteristiky rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota rozdělení \chi^2(n) je

\operatorname{E}(X) = n

Rozdělení \chi^2(n)rozptyl

\sigma^2(X) = 2n

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení \chi^2(n) má tvar

m(z) = {(1-2z)}^{-\frac{n}{2}}

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti q0,95 q0,99
1 3,84 6,63
2 5,99 9,21
3 7,81 11,34
4 9,49 13,28
5 11,07 15,09
10 18,31 23,21
15 25,00 30,58
20 31,41 37,57
30 43,77 50,89
40 55,76 63,69
50 67,50 76,15
N velké (>100) N+1,65 \sqrt{2N} N+2,33 \sqrt{2N}

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení \chi^2(n) se s rostoucím n blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou n a rozptylem 2n.

Související články[editovat | editovat zdroj]