Symplektická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Symplektická grupa je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry, Lieových grup a matematické teorie mechaniky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Symplektická grupa je množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru V do sebe, které zachovávají nějakou nedegenerovanou antisymetrickou bilineární formu . Tedy

Pro různá jsou grupy izomorfní, značí se tedy častěji jako . Pokud je V reálný dimenze , značíme příslušnou grupu , pro komplexní V značíme .

Kromě toho se obvykle definuje tzv. kvaternionická symplektická grupa , která je definována jako množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru nad tělesem kvaternionů. Tato grupa je kompaktní a dá se reprezentovat pomocí komplexních matic dimenze 2n jako

kde U(2n) je unitární grupa. Kvaternionická symplektická grupa se někdy značí také USp(n).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pokud V je reálný vektorový prostor dimenze 2, je Sp(V) izomorfní SL(2,R), tzv. reálné unimodulární grupě. Odtud snadno plyne, že elementy Sp(V) v tomto případě jsou složení rotací, spc. zkosení a spc. dilatací, generující všechna lineární izovolumina.

Pro kvaternionickou symplektickou grupu dimenze 1 platí

kde SU(2) je speciální unitární grupa a grupa jednotkových kvaternionů.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Pokud V je komplexní nebo reálný vektorový dimenze 2n, je symplektická grupa Sp(V) nekompaktní souvislou Lieovou grupou komplexní nebo reálné dimenze n(2n+1) .

Pokud V je reálný, je první homotopická grupa Sp(V) izomorfní Z, tj. homotopického typu kružnice. Pokud V je komplexní, je Sp(V) jednoduše souvislá.

Pokud A in Sp(V), pak det(A) = 1. Pro V komplexní nebo reálný, je Sp(V) tzv. jednoduchá Lieova grupa.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Symplektická grupa Sp(V) je grupou všech lineárních kanonických transformací lib. Hamiltonova systému na V.

Symplektická grupa je užívána v teorii Eisensteinových řad.