Stirlingova čísla

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Stirlingova čísla jsou čísla hojně využívaná ve více oblastech matematiky, nejčastěji se s nimi můžeme setkat v matematické analýze, diskrétní matematice, zejména v kombinatorice. Byla pojmenována po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi, který je definoval v 18. století.

Stirlingova čísla dělíme na dvě kategorie:

  • Stirlingova čísla prvního druhu
  • Stirlingova čísla druhého druhu


Stirlingova čísla prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Značení[editovat | editovat zdroj]

Stirlingova čísla prvního druhu nejčastěji označujeme , dále se můžeme setkat s označením nebo .

Definice[editovat | editovat zdroj]

Stirlingova čísla prvního druhu definujeme jako "počet permutací na n-prvkové množině s k cykly".

Tabulka hodnot[editovat | editovat zdroj]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 2 3 1
4 0 6 11 6 1
5 0 24 50 35 10 1
6 0 120 274 225 85 15 1
7 0 720 1764 1624 735 175 21 1
8 0 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
9 0 40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1

Stirlingova čísla druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Značení[editovat | editovat zdroj]

Stirlingova čísla druhého druhu nejčastěji označujeme , dále například .

Definice[editovat | editovat zdroj]

Stirlingova čísla druhého druhu definujeme jako "počet rozkladů n-prvkové množiny na k tříd".

Každá z těchto k tříd musí obsahovat alespoň jeden prvek.


Např. , neboli "počet rozkladů tří prvkové množiny na dvě třídy" si můžeme představit následujícím způsobem.

Prvky v množině označíme jako , máme tedy množinu , chceme ji rozdělit na 2 množiny ("třídy").

Máme tyto možnosti:

  • .

Rozdělení nepočítáme, protože druhá množina neobsahuje alespoň jeden prvek.

Počet možných rozkladů je 3, neboli .


Tabulka hodnot[editovat | editovat zdroj]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1
7 0 1 63 301 350 140 21 1
8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1