Stacionární množina

Stacionární množina je matematický pojem z oblasti teorie množin, konkrétně nekonečné kombinatoriky.

Definice

Nechť δ je limitní ordinál nespočetné kofinality. Pro δ izolované nemá pojem stacionární množiny dobrý smysl, pro δ spočetné kofinality má tento pojem natolik odlišné vlastnosti, že ho pro snadnější vyjadřování raději vůbec nezavádíme.

Uzavřená neomezená množina

Řekneme, že množina $\,X\subseteq \delta$ je uzavřená neomezená (v δ), jestliže splňuje následující vlastnosti:

Je kofinální s δ (tj. $\,sup(X)=\delta$ )
Je uzavřená v intervalové topologii ordinálu δ (tj. pro $\,A\subseteq X$ je $\,sup(A)\in X$ nebo $\,sup(A)=\delta$ )

Stacionární množina

Řekneme, že množina $\,S\subseteq \delta$ je stacionární (v δ), pokud S protíná každou uzavřenou neomezenou množinu (v δ).

Vlastnosti

Filtr uzavřených neomezených množin

Uzavřené neomezené množiny (v δ) generují filtr, který je cf(δ)-úplný. Tento filtr se nazývá filtr uzavřených neomezených množin. Stacionární množiny (v δ) jsou právě ty podmnožiny δ, které nejsou prvkem ideálu duálního k filtru uzavřených neomezených množin (v δ).

Fodorova věta

Fodorova věta dává do souvislosti stacionární množiny a regresivní funkce (Podmnožina X nějakého nespočetného kardinálu je stacionární, právě když každá regresivní funkce na X je konstantní na neomezené množině).

Související články