Steinerův systém

Steinerův systém $S(t,k,v)$, $2\leq t<k<v$, podle matematika Jakoba Steinera, je konečná kombinatorická struktura - systém $k-$prvkových podmnožin základní $v-$prvkové množiny (tzv. bloků) s vlastností, že každých $t$ bodů leží společně v právě jednom bloku. Steinerovy systémy zobecňují konečné geometrie, které odpovídají $S(2,k,v)$: v geometrii každé dva body určují právě jednu přímku.

Existence Steinerových systémů

Základním matematickým problémem Steinerových systémů je, zda pro daná $t,k,v$ vůbec $S(t,k,v)$ existuje. Tento problém je až na výjimky otevřený; výjimky určuje několik známých konstrukcí $S(t,k,v)$ a naopak několik podmínek, které pro jiná $t,k,v$ existenci vylučují.

Utržením jednoho bodu ze Steinerova systému $S(t,k,v)$ získáme po odstranění bloků, v nichž tento bod neležel, tzv. derivovaný systém $S(t,k,v)$ Derivovaný systém také musí splňovat axiomy Steinerova systému, jeho derivovaný systém také atd. Z toho plyne soustava nutných podmínek pro existenci $S(t,k,v)$:

${\frac {\left({\begin{array}{c}v-i\\t-i\\\end{array}}\right)}{\left({\begin{array}{c}k-i\\t-i\\\end{array}}\right)}}$ musí být celočíselné pro každé $0<i<t$

Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá $i-$tice bodů.

Splnění této sady podmínek však stále není postačující pro existenci $S(t,k,v)$; již vyvráceny byly například existence $S(4,5,15)$, $S(4,10,66)$ či $S(3,13,145)$

Pro $t>3$ známe (nebo dovedeme prokázat existenci) jen konečně mnoho Steinerových systémů; pro $6\leq t$ žádný.

Dosud známé nekonečné třídy Steinerových systémů

• $S(2,q,q^{n})$ pro $q=$ mocnina prvočísla a $n>1$ (afinní geometrie)
• $S(3,q+1,q^{n}+1)$ pro $q=$ mocnina prvočísla a $n>1$ (sférické geometrie)
• $S(2,q+1,(q^{n+1}-1)/(q-1))$ pro $q=$ mocnina prvočísla a $n>1$ (projektivní geometrie)
• $S(2,q+1,q^{3}+1)$ pro $q=$ mocnina prvočísla
• $S(2,2^{r},2^{r+s}+2^{r}-2^{s})$ pro $1<r<s$ (Dennistonův design)

Steinerovy systémy v teorii grup

Speciální Steinerovy systémy jsou jednou z ekvivalentních možností jak definovat vysoce tranzitivní Mathieu grupy:

• $5-$transitivní Mathieu grupa $M_{24}$ je grupou automorfismů Steinerova systému $S(5,8,24)$
• $5-$transitivní Mathieu grupa $M_{12}$ je grupou automorfismů Steinerova systému $S(5,6,12)$
• $4-$transitivní Mathieu grupa $M_{23}$ je grupou automorfismů Steinerova systému $S(4,7,23)$
• $4-$transitivní Mathieu grupa $M_{11}$ je grupou automorfismů Steinerova systému $S(4,5,11)$
• $3-$transitivní Mathieu grupa $M_{22}$ je grupou automorfismů Steinerova systému $S(3,6,22)$