Steinerův systém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Steinerův systém , , podle matematika Jakoba Steinera, je konečná kombinatorická struktura - systém prvkových podmnožin základní prvkové množiny (tzv. bloků) s vlastností, že každých bodů leží společně v právě jednom bloku. Steinerovy systémy zobecňují konečné geometrie, které odpovídají : v geometrii každé dva body určují právě jednu přímku.

Existence Steinerových systémů[editovat | editovat zdroj]

Základním matematickým problémem Steinerových systémů je, zda pro daná vůbec existuje. Tento problém je až na výjimky otevřený; výjimky určuje několik známých konstrukcí a naopak několik podmínek, které pro jiná existenci vylučují.

Pro známe (nebo dovedeme prokázat existenci) jen konečně mnoho Steinerových systémů; pro žádný.

Nutná podmínka dělitelnosti[editovat | editovat zdroj]

Utržením jednoho bodu ze Steinerova systému získáme po odstranění bloků, v nichž tento bod neležel, tzv. derivovaný systém Derivovaný systém také musí splňovat axiomy Steinerova systému, jeho derivovaný systém také atd. Z toho plyne soustava nutných podmínek pro existenci :

musí být celočíselné pro každé [1]

Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá tice bodů.

Splnění této sady podmínek však stále není postačující pro existenci ; již vyvráceny byly například existence , či

Dosud známé nekonečné třídy Steinerových systémů[2][editovat | editovat zdroj]

  • pro mocnina prvočísla a (afinní geometrie)
  • pro mocnina prvočísla a (sférické geometrie)
  • pro mocnina prvočísla a (projektivní geometrie)
  • pro mocnina prvočísla
  • pro (Dennistonův design)

Steinerovy systémy v teorii grup[editovat | editovat zdroj]

Speciální Steinerovy systémy jsou jednou z ekvivalentních možností jak definovat vysoce tranzitivní Mathieu grupy:

  • transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
  • transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
  • transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
  • transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
  • transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. BIGGS, Norman L.; WHITE, Arthur T. Permutation groups and combinatorial structures. [s.l.]: Cambridge University Press, 1979. 140 s. ISBN 978-0521222877. 
  2. COLBOURN, Charles J.; DINITZ, Jeffrey H. Handbook of combinatorial designs. II.. vyd. [s.l.]: CRC Press, 2006. 1016 s. ISBN 9780429138485. S. 102–110.