Lorentzův faktor

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace).

Tento člen se označuje symbolem $\gamma$ a je definován jako

$\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}$,

kde $v$ je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas $t$, $\tau$ je vlastní čas a $c$ je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je ${\frac {v}{c}}$, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se $\beta$.

$\beta \equiv {\frac {v}{c}}$

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{1 \over 2}}$

Hodnoty

Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých $c$ roste nade všechny meze.

$\beta$	$\gamma$	$\gamma ^{-1}$
0.010	1.000	1.000
0.100	1.005	0.995
0.200	1.021	0.980
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045

Přibližné vyjádření

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

$\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...\,.$

Aproximaci $\gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}$ lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti $\beta <0,4$ vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti $\beta <0,22$ vykazuje chybu menší než 0,1%.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. Např.:

$\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v}$

přejde pro $\gamma \approx 1\,$ na

$\mathbf {p} =m\mathbf {v} \,.$

Podobně relativistický výraz

$E=\gamma mc^{2}$

přejde pro $\gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}$ na klasický tvar

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\,.$

Pro relativistické výpočty se často používá také vyjádření výrazu

$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}\,,$

který lze přepsat do řady

$\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+...\,.$

Související články

• Speciální teorie relativity
• Lorentzova transformace