Lorentzův faktor: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 6. 10. 2007, 13:28

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace).

Tento člen se označuje symbolem $\gamma$ a je definován jako

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}

,

kde $v$ je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas $t$ , $\tau$ je vlastní čas a $c$ je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je ${\frac {v}{c}}$ , nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se $\beta$ .

\beta \equiv {\frac {v}{c}}

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{1 \over 2}}

Příklady hodnot

$\beta$	$\gamma$	$\gamma ^{-1}$
0.010	1.000	1.000
0.100	1.005	0.995
0.200	1.021	0.980
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045

Přibližné vyjádření

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...\,.

Aproximaci $\gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}$ lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti $\beta <0,4$ vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti $\beta <0,22$ vykazuje chybu menší než 0,1%.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. Např.:

\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v}

přejde pro $\gamma \approx 1\,$ na

\mathbf {p} =m\mathbf {v} \,.

Podobně relativistický výraz

E=\gamma mc^{2}

přejde pro $\gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}$ na klasický tvar

E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\,.

Pro relativistické výpočty se často používá také vyjádření výrazu

\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}\,,

který lze přepsat do řady

\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+...\,.

Související články

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
-Jako '''Lorentzův faktor''' se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a [[rovnice|rovnicích]] [[speciální teorie relativity]] (např. [[kontrakce délek]] nebo [[dilatace času]]).
+Jako '''Lorentzův faktor''' se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a [[rovnice|rovnicích]] [[speciální teorie relativity]] (např. [[kontrakce délek]], [[dilatace času]], [[Lorentzova transformace]]).
 Tento člen se označuje symbolem <math>\gamma</math> a je definován jako
-:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - u^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,
+:<math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,
-kde <math>u</math> je velikost [[rychlost]]i ve [[vztažná soustava|vztažné soustavě]], v níž je měřen [[čas]] <math>t</math>, <math>\tau</math> je [[vlastní čas]] a <math>c</math> je [[rychlost světla]].
+kde <math>v</math> je velikost [[rychlost]]i ve [[vztažná soustava|vztažné soustavě]], v níž je měřen [[čas]] <math>t</math>, <math>\tau</math> je [[vlastní čas]] a <math>c</math> je [[rychlost světla]] ve [[vakuum|vakuu]].
+Dalším často se opakujícím výrazem je <math>\frac{v}{c}</math>, nazývá se '''bezrozměrná rychlost''' a značí se <math>\beta</math>.
-Výraz <math>\frac{u}{c}</math> bývá často zapisován jako
-:<math>\beta = \frac{u}{c}</math>
+:<math>\beta \equiv \frac{v}{c}</math>
-a Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako
+Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako
-:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}</math>
+:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}}</math>
 == Příklady hodnot ==
@@ Řádek 45: / Řádek 46: @@
 == Přibližné vyjádření ==
 Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] jako
-:<math>\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...</math>
+:<math>\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.</math>
 [[Aproximace|Aproximaci]] <math>\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti <math>\beta< 0,4</math> vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti <math>\beta< 0,22</math> vykazuje chybu menší než 0,1%.
+Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké [[rychlost]]i přechází [[speciální teorie relativity]] na [[Newtonova mechanika|Newtonovu mechaniku]]. Např.:
-Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké [[rychlost]]i přechází [[speciální teorie relativity]] na [[Newtonova mechanika|Newtonovu mechaniku]]. Např.
 :<math>\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} </math>
 přejde pro <math>\gamma \approx 1\,</math> na
-:<math>\mathbf{p} = m \mathbf{v} </math>
+:<math>\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.</math>
 Podobně relativistický výraz
-:<math>E = \gamma m c^2 \,</math>
+:<math>E = \gamma m c^2</math>
 přejde pro <math>\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> na klasický tvar
-:<math>E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 </math>
+:<math>E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,. </math>
 Pro relativistické výpočty se často používá také vyjádření výrazu
-:<math>\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} </math>,
+:<math>\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,</math>
 který lze přepsat do [[Taylorova řada|řady]]
-:<math>\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ...</math>
+:<math>\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.</math>
 ==Související články==