Matematická indukce: Porovnání verzí
m Portálové šablony dle doporučení (s pomocí dat od Dannyho B.) |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
{{Různé významy|tento=metodě [[matematický důkaz|matematického důkazu]]|druhý=způsobu logického uvažování|stránka=Indukce (logika)}} |
{{Různé významy|tento=metodě [[matematický důkaz|matematického důkazu]]|druhý=způsobu logického uvažování|stránka=Indukce (logika)}} |
||
'''Matematická indukce''' je metoda dokazování [[věta (matematika)|matematických vět]] a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna [[přirozené číslo|přirozená čísla]], případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že pro číslo ''1'' |
'''Matematická indukce''' je metoda dokazování [[věta (matematika)|matematických vět]] a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna [[přirozené číslo|přirozená čísla]], případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že platí pro číslo ''1'', a zároveň lze dokázat platnost tvrzení i pro každé dané ''n'' převést v konečně mnoha krocích na platnost pro ''1'' s tím, že počet těchto kroků s rostoucím ''n'' také roste. |
||
== Princip důkazu indukcí == |
== Princip důkazu indukcí == |
Verze z 27. 6. 2011, 08:53
Matematická indukce je metoda dokazování matematických vět a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna přirozená čísla, případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že platí pro číslo 1, a zároveň lze dokázat platnost tvrzení i pro každé dané n převést v konečně mnoha krocích na platnost pro 1 s tím, že počet těchto kroků s rostoucím n také roste.
Princip důkazu indukcí
Typický důkaz indukcí se skládá ze dvou kroků:
- První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo n nikoliv pro n=1, nemusí vždy obecně platit.
- Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1 (Část následující bezprostředně po pokud se někdy nazývá indukční předpoklad).
Princip matematické indukce pak již říká, že tvrzení platí pro každé n.
Často se v prvním kroku dokazuje, že tvrzení platí pro n = 0. Tento způsob je zcela ekvivalentní.
Tento postup se někdy přirovnává k dominu. Obě tyto části jsou totiž podobné dominovému efektu:
- Spadne první kostka domina.
- Pokud spadne nějaká kostka domina, spadne i její nejbližší soused.
Výsledkem potom je, že spadnou všechny kostky.
Příklad
Mějme následující tvrzení: Pro všechna přirozená platí
Důkaz
První krok
Nejdříve zkontrolujeme, zda tvrzení platí pro n = 1. Zřejmě ano, jelikož součet prvních 1 přirozených čísel je 1 a 1(1 + 1)/2=1.
Indukční krok
Nyní chceme ukázat, že pokud tvrzení platí pro n = m, platí i pro n = m + 1. Tj. platí-li tvrzení, píšeme-li v něm všude m místo n, pak platí také píšeme-li v něm všude m + 1 místo n.
Předpokládejme tedy, že pro n = m tvrzení platí, čili
Přičtením m + 1 k oběma stranám této rovnice dostaneme
což se rovná
Máme tedy
To je ale přesně tvrzení pro n = m + 1. Dokázali jsme, že je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro n = m.
Shrnutí
Tvrzení tedy platí pro všechna přirozená čísla, jelikož:
- Platí pro 1.
- Jestliže platí pro 1, platí i pro 2.
- Jestliže platí pro 2, platí i pro 3.
- Jestliže platí pro 3, platí i pro 4.
Věta o důkazu indukcí
Myšlenku matematického důkazu indukcí lze formulovat touto matematickou větou:
Buď množina přirozených čísel, která obsahuje nulu a s každým svým prvkem x obsahuje i x+1. Pak .