Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí
mBez shrnutí editace |
|||
Řádek 6: | Řádek 6: | ||
* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>). |
* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>). |
||
* [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1. |
* [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1. |
||
* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto <math>\aleph_0</math> ([[alef 0]]). |
* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto <math>\aleph_0</math> ([[alef 0]]). |
||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
Verze z 10. 6. 2007, 09:36
Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
Vektorový prostor dimenze zapisujeme jako , popř. píšeme . Prostor nazýváme -rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný.
Příklady
- Vektorový prostor má bázi o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že a ještě obecněji (pro libovolné těleso ).
- Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
- Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty má bázi o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto (alef 0).
Vlastnosti
Je-li podprostorem prostoru , pak platí , přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud . Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.
Pokud je rozšíření tělesa , je vektorový prostor nad tělesem a libovolný vektorový prostor nad tělesem je také vektorový prostor nad tělesem , přičemž platí
Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze je současně reálným vektorovým prostorem dimenze .
Pokud je vektorový prostor nad tělesem , platí:
- Pokud je konečné, pak ,
- pokud je nekonečné, pak .