Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Vyřešit soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými znamená najít všechny uspořádané dvojice, které jsou řešením obou lineárních rovnic.

Soustava rovnic

ax + by = c,
dx + ey = f,

se nazývá soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y, kde a, b, c, d, e, fR.

Řešením takové soustavy je každá uspořádaná dvojice [x0,y0].

Ne vždy je lineární rovnice upravená na tvar ax + by = c, ale lze ji na tento tvar převést ekvivalentními úpravami.

Počet řešení[editovat | editovat zdroj]

  • žádné (př.: 2 rovnoběžné přímky)
  • právě jedna uspořádaná dvojice (př.: 2 různoběžné přímky, mají společný právě 1 bod, tomuto bodu říkáme průsečík, zde představuje již zmíněnou uspořádanou dvojici)
  • nekonečně mnoho uspořádaných dvojic (př.: 2 splývající přímky)

Metody řešení[editovat | editovat zdroj]

  • dosazovací – z jedné rovnice vyjádříme neznámou s nenulovým koeficientem a toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice, získáme tak lineární rovnici o jedné neznámé.
  • sčítací – sčítací metodu používáme většinou pokud jsou koeficienty a, b, d, e nenulové. Ekvivalentními úpravami rovnic docílíme toho, aby po přičtení jedné rovnice ke druhé „zmizela“ jedna neznámá, jinými slovy abychom dostali lineární rovnici o jedné neznámé.
  • srovnávací – tato metoda je podobná dosazovací, s tím rozdílem, že stejnou neznámou s nenulovým koeficientem vyjádříme z obou rovnic a tato vyjádření dáme do rovnosti, čímž získáme lineární rovnici o jedné neznámé.
  • grafické znázornění – obrazem množiny všech uspořádaných dvojic ax + by = c, pokud a≠0 nebo b≠0, je přímka. Hledáme tedy společné body těchto 2 přímek. Přímky mohou být rovnoběžné různé, různoběžné, nebo splývající. Jinak řečeno mohou mít 0,1, nebo nekonečně mnoho řešení.
  • maticí

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Uvedený příklad řešený více metodami:

Najděte dvě čísla jejichž součet je 89 a rozdíl 55.

Pokud jedno z hledaných čísel označíme x a druhé y, dostaneme následující rovnice:

x + y = 89

xy = 55

V tuto chvíli máme více možností jak danou soustavu řešit:

  • dosazovací metoda
z první rovnice vyjádříme např. y = 89 – x
a dosadíme do druhé: x – (89 – x) = 55
dostáváme lineární rovnici o jedné neznámé 2x = 144 ⇒ x= 72, dosazením této hodnoty do jedné z rovnic dostáváme y = 17
  • sčítací metoda
rovnice přičteme a dostaneme 2x = 144 ⇒ x= 72, dosazením výsledku do kterékoliv rovnice získáme y = 17
  • srovnávací metoda
z obou rovnic si vyjádříme y: y = 89 – x, y = x – 55
dáme je do rovnosti: 89 – x = x – 55, tato rovnice má opět za výsledek x = 72 a dosazením do libovolné rovnice dopočítáme y
  • graficky

Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [72, 17].