Přeskočit na obsah

Perfektní mocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice: je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla , a , pro která platí, že .

Příklady a součty

[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:[1]

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:

Důkaz:

Goldbachova-Eulerova věta

[editovat | editovat zdroj]

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet přes množinu perfektních mocnin , vyjma čísla 1 je 1:

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin

[editovat | editovat zdroj]

Zjištění, zda je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty přes všechny dělitele , až do . Jestliže tedy dělitelé jsou pak jedna z hodnot musí být rovna jestliže je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud pro složené číslo kde je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako . Minimální hodnota je 2.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]