Perfektní mocnina
Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.
Formální definice: je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla , a , pro která platí, že .
Příklady a součty
[editovat | editovat zdroj]Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:[1]
Vlastnosti
[editovat | editovat zdroj]Součet
[editovat | editovat zdroj]Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:
Důkaz:
Goldbachova-Eulerova věta
[editovat | editovat zdroj]Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet přes množinu perfektních mocnin , vyjma čísla 1 je 1:
Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.
Hledání celočíselných mocnin
[editovat | editovat zdroj]Zjištění, zda je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty přes všechny dělitele , až do . Jestliže tedy dělitelé jsou pak jedna z hodnot musí být rovna jestliže je mocnina.
Tato metoda může být zjednodušena pokud hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud pro složené číslo kde je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako . Minimální hodnota je 2.
Odkazy
[editovat | editovat zdroj]Reference
[editovat | editovat zdroj]V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.
- ↑ Posloupnost A072103 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]- PARADÍS, Jaume; VIADER, Pelegrí; BIBILONI, Lluís. On a Series of Goldbach and Euler. SSRN Electronic Journal [online]. 2004 [cit. 2021-05-29]. DOI 10.2139/ssrn.848586.
- Perfektní mocnina v encyklopedii MathWorld (anglicky)
- Daniel J. Bernstein. Detecting perfect powers in essentially linear time. Mathematics of Computation. 1998, roč. 67, čís. 223, s. 1253–1283. Dostupné online. DOI 10.1090/S0025-5718-98-00952-1.