Perfektní mocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice
n\,\! je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla m > 1\,\!, a k > 1\,\!, pro která platí, že m^k = n\,\!.

Příklady a součty[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad: Posloupnost A072103 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

 2^2 = 4,\, 2^3 = 8,\, 3^2 = 9,\, 2^4 = 16,\, 4^2 = 16,\, 5^2 = 25,\, 3^3 = 27,\, 2^5 = 32,\, 6^2 = 36,\, 7^2 = 49,\, 2^6 = 64,\, 4^3 = 64,\, 8^2 = 64,\, \dots

Vlastnost[editovat | editovat zdroj]

Součet[editovat | editovat zdroj]

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1.
Důkaz
\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
 =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
 =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
 =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
 =\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1 \, .

Goldbachova-Eulerova věta[editovat | editovat zdroj]

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet \frac{1}{p-1} přes množinu perfektních mocnin p\,\!, vyjma čísla 1 je 1:

\sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin[editovat | editovat zdroj]

Zjištění, zda \scriptstyle n je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty \scriptstyle k přes všechny dělitele \scriptstyle n, až do \scriptstyle k\, \leq \, \log_2 n. Jestliže tedy dělitelé \scriptstyle n jsou \scriptstyle n_1,\, n_2,\, \dots,\, n_j pak jedna z hodnot \scriptstyle n_1^2,\, n_2^2,\, \dots,\, n_j^2,\, n_1^3,\, n_2^3\, \dots musí být rovna \scriptstyle n jestliže \scriptstyle n je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud \scriptstyle k hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud \scriptstyle n\, =\, m^k pro složené číslo \scriptstyle k\, =\, ap kde \scriptstyle p je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako \scriptstyle n\, =\, m^k\, =\, m^{ap}\, =\, (m^a)^p. Minimální hodnota \scriptstyle k je 2.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Zdroje[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]