Perfektní mocnina

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice: $n\,\!$ je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla $m>1\,\!$, a $k>1\,\!$, pro která platí, že $m^{k}=n\,\!$.

Příklady a součty

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:

$2^{2}=4,\,2^{3}=8,\,3^{2}=9,\,2^{4}=16,\,4^{2}=16,\,5^{2}=25,\,3^{3}=27,\,2^{5}=32,\,6^{2}=36,\,7^{2}=49,\,2^{6}=64,\,4^{3}=64,\,8^{2}=64,\,\dots$

Vlastnosti

Součet

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako n^k) je 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.$

Důkaz:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.$

Goldbachova-Eulerova věta

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet ${\frac {1}{p-1}}$ přes množinu perfektních mocnin $p\,\!$, vyjma čísla 1 je 1:

$\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin

Zjištění, zda $n$ je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty $k$ přes všechny dělitele $n$, až do $k\,\leq \,\log _{2}n$. Jestliže tedy dělitelé $n$ jsou $n_{1},\,n_{2},\,\dots ,\,n_{j}$ pak jedna z hodnot $n_{1}^{2},\,n_{2}^{2},\,\dots ,\,n_{j}^{2},\,n_{1}^{3},\,n_{2}^{3}\,\dots$ musí být rovna $n$ jestliže $n$ je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud $k$ hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud $n\,=\,m^{k}$ pro složené číslo $k\,=\,ap$ kde $p$ je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako $n\,=\,m^{k}\,=\,m^{ap}\,=\,(m^{a})^{p}$. Minimální hodnota $k$ je 2.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

Související články

• Catalanova věta

Externí odkazy

• PARADÍS, Jaume; VIADER, Pelegrí; BIBILONI, Lluís. On a Series of Goldbach and Euler. SSRN Electronic Journal [online]. 2004 [cit. 2021-05-29]. DOI 10.2139/ssrn.848586. 
• Perfektní mocnina v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Daniel J. Bernstein. Detecting perfect powers in essentially linear time. Mathematics of Computation. 1998, roč. 67, čís. 223, s. 1253–1283. Dostupné online. DOI 10.1090/S0025-5718-98-00952-1.