Perfektní mocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice
je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla , a , pro která platí, že .

Příklady a součty[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad: Posloupnost A072103 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

Vlastnost[editovat | editovat zdroj]

Součet[editovat | editovat zdroj]

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:

Důkaz

Goldbachova-Eulerova věta[editovat | editovat zdroj]

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet přes množinu perfektních mocnin , vyjma čísla 1 je 1:

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin[editovat | editovat zdroj]

Zjištění, zda je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty přes všechny dělitele , až do . Jestliže tedy dělitelé jsou pak jedna z hodnot musí být rovna jestliže je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud pro složené číslo kde je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako . Minimální hodnota je 2.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Zdroje[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]