Newtonova interpolace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Příklad interpolace polynomem - interpolační funkce vždy prochází všemi známými body funkce

Chceme-li aproximovat funkci danou svými body  x_0 \cdots x_n (tzv. uzly interpolace), a požadujeme aby aproximace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem. Tato interpolace nám poslouží k získání přibližné hodnoty funkce v libovolném bodě intervalu <x_0,x_n>.

Tvar Newtonova interpolačního polynomu:

N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})

Koeficienty a_0 \cdots a_n lze vypočítat pomocí poměrných diferencí. (viz níže)

Sestavení tabulky poměrných diferencí[1][editovat | editovat zdroj]

V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech x_i.

Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:

f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}

Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:

f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}

Ostatní diference vyjádříme analogicky.

Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu[2][editovat | editovat zdroj]

Hledáme polynom procházející body: [-2,-39], [0,3], [1,6], [3,36]

x_i f(x_i) Diference 1. řádu Diference 2. řádu Diference 3. řádu
x_0=-2 f(x_0)=-39=a_0
x_1=0 f(x_1)=3 \frac{3-(-39)}{0-(-2)}=21=a_1
x_2=1 f(x_2)=6 \frac{6-3}{1-0}=3 \frac{3-21}{1-(-2)}=-6=a_2
x_3=3 f(x_3)=36 \frac{36-6}{3-1}=15 \frac{15-3}{3-0}=4 \frac{4-(-6)}{3-(-2)}=2=a_3

P_3(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)

P_3(x) = -39 +21(x+2) -6(x+2)x +2(x+2)x(x-1)

Vlastnosti interpolační metody[editovat | editovat zdroj]

Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty a_k se nezmění).

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.; Mgr. Irena Růžičková. Matematika 3. [s.l.] : [s.n.]. Dostupné online. Kapitola 6.1.3, s. 64.  
  2. Numerical Analysis for Engineering: 5.3 Newton Polynomials [online]. [cit. 2012-10-14]. Dostupné online. (anglicky) 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]