Měřitelný kardinál

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice

Řekneme, že kardinální číslo $\kappa$ je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na $\kappa$ netriviální $\kappa$ -úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než $\kappa$ množin.

Vlastnosti

Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální $\kappa$ -úplný ultrafiltr ${\mathcal {U}}$ na $\kappa$ definuje $\,\kappa ^{<}$ -aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než $\kappa$ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem $\mu (X)=1$ pro $X\in {\mathcal {U}}$ a $\mu (X)=0$ jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální $\kappa$ -úplný ultrafiltr na $\kappa$ . Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál $\kappa$ , na němž existuje $\,\kappa ^{<}$ -aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální $\kappa$ -úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu $\kappa$ nazývá měřitelný ultrafiltr na $\kappa$ nebo jen míra na $\kappa$ .

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je $\kappa$ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje $\aleph _{1}$ -úplný ultrafiltr, pak $\kappa$ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině $\,\kappa ^{\kappa }$ všech funkcí z $\kappa$ do $\kappa$ pro měřitelný kardinál $\kappa$ takto: Nechť ${\mathcal {U}}$ je měřitelný ultrafiltr na $\kappa$ . Pro funkce $f,g\in \kappa ^{\kappa }$ definujeme

$f<^{\mathcal {U}}g$ právě když $\{x\in \kappa ;f(x)<g(x)\}\in {\mathcal {U}}$
$f=^{\mathcal {U}}g$ právě když $\{x\in \kappa ;f(x)=g(x)\}\in {\mathcal {U}}$
$f\leq ^{\mathcal {U}}g$ právě když $f<^{\mathcal {U}}g$ nebo $f=^{\mathcal {U}}g$
$\,k_{a}$ , kde $a\in \kappa$ , je taková funkce, která splňuje $\,k_{a}(x)=a$ pro všechna $\,x\in \kappa$
funkce f je první za konstantami, je-li $k_{a}<^{\mathcal {U}}f$ pro všechna $a\in \kappa$ a kdykoli $g<^{\mathcal {U}}f$ , pak $g=^{\mathcal {U}}k_{a}$ pro nějaké $a\in \kappa$

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li $\kappa$ měřitelný kardinál, pak na $\kappa$ existuje měřitelný ultrafiltr ${\mathcal {U}}$ takový, že identita na $\kappa$ (fce $\,id(x)$ , že $\,id(x)=x$ pro $x\in \kappa$ ) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem $\kappa$ leží právě $\kappa$ nedosažitelných kardinálů.

Související články