Loxodroma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Příklad loxodromy na povrchu Země

Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.

V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512–1594)[1]. Název „loxodroma“ pochází od nizozemského učence Willebrorda Snellia (1581–1626).

Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800–1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný[2].

V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.

Matematický popis[editovat | editovat zdroj]

Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru R, jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. Sférické souřadnice označme \vartheta a \varphi, přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá \vartheta = 0.

Odvození azimutu[editovat | editovat zdroj]

Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je R\,{\mathrm d}\vartheta, zatím co ve směru západ-východ R\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi. Azimut (úhel vůči severu) \alpha je pak tedy dán takto:

\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{R\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi}{R \,{\mathrm d}\vartheta}

Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci

{\mathrm d}\varphi = \frac{\operatorname{tg}\, \alpha}{\cos \vartheta} \,{\mathrm d}\vartheta.

Přitom dle definice loxodromy je \alpha konstantní. Integrováním od \vartheta_1 do \vartheta_2 získáme změnu \varphi mezi těmito body. Přitom předpokládáme, že \vartheta_1 \ne \vartheta_2.


\varphi_2 - \varphi_1 = \operatorname{tg}\, \alpha (\operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_2 - \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_1)

Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:

\operatorname{tg}\,\alpha =   \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{ \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_2 - \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_1}

Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:

x=R\, \varphi

y=R\, \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta

Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut

\operatorname{tg}\,\alpha = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1},

což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.

Délka loxodromy[editovat | editovat zdroj]

Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.

{\mathrm d}s = R\sqrt{{\mathrm d}\vartheta^2 + \cos^2 \vartheta {\mathrm d}\varphi^2}

Dosadíme-li za \cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:

{\mathrm d}s = R\sqrt{{\mathrm d}\vartheta^2 + \tan^2 \alpha \,{\mathrm d}\vartheta^2} = R \frac{|{\mathrm d}\vartheta|}{|\cos \alpha|}

Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je

s=R \frac{|\vartheta_2 - \vartheta_1|}{|\cos \alpha|},

kde za azimut \alpha dosadíme z předem odvozeného vztahu

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. KUCHAŘ, K.: Základy kartografie. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha, 1953. 1. vyd. 190 s.
  2. BENEŠ, L. a kolektiv: Učebnice pilota. Svět křídel, 1995. 1. vyd. 292 s. ISBN 80-85280-30-2

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]