Kvazigrupa

Kvazigrupa je v matematice taková algebraická struktura s jednou binární operací, která je grupoidem a ve které je navíc možné „dělit“. Na rozdíl od grupy nemusí být operace asociativní a nemusí existovat neutrální prvek. Kvazigrupa s neutrálním prvkem se nazývá lupa.

Násobicí tabulky kvazigrup odpovídají latinským čtvercům.

Formální definice

Kvazigrupa (Q,*) je taková množina Q s binární operací *, že pro každé a a b z Q existují jednoznačně určená x a y z Q, že platí:

a*x = b ;
y*a = b .

Jinými slovy: Pro dva prvky a a b, můžeme hodnotu b najít v řádku a a sloupci a tabulky skládání prvků kvazigrupy Q pro operaci *, tzv. Cayleyovy tabulky kvazigrupy.

Jedinečná řešení těchto dvou rovnic jsou x = b\a y = b/a. Operace \ a / se nazývají pravé a levé dělení.

Lupa

Lupa je kvazigrupa, která obsahuje neutrální prvek (identitu). Je-li n neutrálním prvkem kvazigrupy Q, platí:

x * n = x = n * x, pro každé x z Q.

Z toho plyne, že neutrální prvek n je pro každý prvek z Q stejný, a že každý prvek z Q má jedinečný neutrální inverzní prvek zprava a zleva.

Moufangové lupa je lupa, která splňuje Moufangové identitu:

(x * y) * (z * x) = x * ((y * z) * x).

Příklady

Každá grupa je lupa, protože platí: a * x= b, právě a pouze tehdy, když x = a⁻¹ * b, a y * a = b právě a pouze tehdy, když y = b * a⁻¹.
Celá čísla Z s operací odčítání (-) tvoří kvazigrupu.
Racionální čísla bez nuly Q^x (nebo reálná čísla bez nuly R^x) s operací dělení (÷) tvoří kvazigrupu.
Každá grupa je zároveň i kvazigrupa.
Jakýkoli vektorový prostor nad charakteristickým polem různým od čísla 2 tvoří idempotentní komutativní kvazigrupu s operací x * y = (x + y) / 2.
Nenulové oktoniony spolu s násobením tvoří neasociativní lupu. Oktoniony jsou speciálním případem lupy, které se říká Moufangové lupa.

Vlastnosti

Ve zbytku článku budeme označovat násobení v kvazigrupě jednoduše vedle sebe.

Kvazigrupy mají vlastnost krácení: Jestliže ab=ac, pak b=c. To vyplývá z jedinečnosti levého dělení ab nebo ac prvkem a. Obdobně ba=ca, pak b=c.

Zobrazení násobení

Definici kvazigrupy Q můžeme upravit na zobrazení levého a pravého násobení L(x), R(x): Q→Q, která jsou definována:

L(x)y=xy, R(x)y=yx

Definice říká, že obě zobrazení jsou bijekcemi množiny Q do sebesama.

Grupoid Q je kvazigrupou právě tehdy, když tato všechna zobrazení, pro každé x ∈ Q, jsou bijektivní.

Inverzní zobrazení pravého a levého dělení jsou potom zapsána:

L(x)^-1y=x\y, R(x)^-1y=y\x

V tomto zápisu jsou neutrální prvky mezi operacemi násobení a dělení kvazigrupy, kde 1 označuje neutrální prvek zobrazování na Q:

L(x)L(x)^-1=1

L(x)^-1L(x)=1

R(x)R(x)^-1=1

R(x)^-1R(x)=1

Latinské čtverce

Je-li Q konečná řádu n, potom Caleyho (multiplikativní) tabulka Q tvoří latinský čtverec n×n tj. čtverec vyplněný čísly z množiny {1,…,n} tak, že v každém řádku a sloupci se žádná dvě čísla neopakují.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quasigroup na anglické Wikipedii.