Metoda Lagrangeových multiplikátorů

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Karush-Kuhn-Tucker)
Sedlový bod Lagrangeovy funkce.

Metoda Lagrangeových multiplikátorů slouží k nalezení vázaných extrémů funkce, tedy jejích minim nebo maxim při platnosti omezujících podmínek.

Vázané extrémy diferencovatelné reálné funkce za předpokladu platnosti diferencovatelných omezujících podmínek , kde , lze najít pomocí tzv. Lagrangeovy funkce:

,

kde proměnné jsou tzv. Lagrangeovy multiplikátory.

Za určitých podmínek, známých jako Kuhnovy–Tuckerovy, leží lokální vázaný extrém funkce v tzv. sedlovému bodě Lagrangeovy funkce. Sedlové body najdeme položením parciálních derivací Lagrangeovy funkce rovných nule.

Metodu Lagrangeových multiplikátorů uveřejnil Joseph-Louis Lagrange počátkem 19. století.

Omezení ve tvaru rovností[editovat | editovat zdroj]

Formulujme optimalizační úlohu následovně:

kde je optimum, vymezuje oblast přípustných řešení ve tvaru rovností resp. nerovností a představuje optimalizovanou funkci.

Uvažujme uvedenou optimalizační úlohu s následující oblastí přípustných řešení ve tvaru rovností:

kde a jsou spojitě diferencovatelné funkce a dále zaveďme tzv. Lagrangeovu funkci:

kde složky vektoru jsou tzv. Lagrangeovy multiplikátory, pak za předpokladu lineární nezávislosti vektorů je nutná podmínka existence lokálního extrému funkce (2) v bodě ve tvaru , tj.:

kde .

Omezení ve tvaru nerovností (Kuhn–Tucker)[editovat | editovat zdroj]

Na tuto kapitolu jsou přesměrována hesla Karushovy–Kuhnovy–Tuckerovy podmínky, Karush–Kuhn–Tucker a KKT.
Omezení ve tvaru nerovností optimalizačního problému pro vnitřní resp. hraniční bod.

Zaměníme-li v oblasti přípustných řešení (1) rovnost za nerovnost, tj. přejdeme-li od omezení ve tvaru rovností k omezení ve tvaru nerovností, můžeme se vrátit zpět k omezení ve tvaru rovností ekvivalentním vyjádřením následujících omezení a Lagrangeovy funkce zavedením pomocné proměnné :

spolu s ekvivalentními nutnými podmínkami existence lokálního extrému funkce v bodě :

.

Uvažujme nyní obecně omezení úlohy pouze ve tvaru , pak pro optimální vnitřní resp. hraniční bod z platí:

resp.

kde , takže zřejmě pro libovolný optimální bod z platí:

tj. pak můžeme nutnou podmínku existence lokálního extrému funkce v bodě zapsat pomocí (5) ve tvaru:

.

Vzhledem k výše uvedenému dostaneme pro a následující soustavu nutných podmínek existence lokálního extrému funkce (4) analogicky s (6) v bodě :

a úpravou uvedených podmínek můžeme vypuštěním pomocné proměnné vyjádřit nutné podmínky existence lokálního extrému funkce (2) v bodě na oblasti vymezené nerovnostmi v tzv. Karushově–Kuhnově–Tuckerově kompaktním symetrickém tvaru: [1][2]

a bod je tzv. sedlovým bodem funkce (2), tj. Lagrangeova funkce v něm nabývá svého minima resp. maxima vzhledem k proměnným resp. a dle (8) platí , takže je zřejmě hledané optimum funkce na oblasti vymezené omezujícími podmínkami ve tvaru nerovností. Sedlový bod funkce (2) pak získáme řešením soustavy nelineárních rovnic o neznámých určené skalárními součiny (7) a (8).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Extrémní hodnoty lineární fukce na kružnici

Najděme maximum lineární funkce vázané na jednotkovou kružnici .

Vazba je

takže Lagrangeova funkce je

Derivací Lagrangeovy funkce podle jednotlivých proměnných získáme gradient:

a jeho položením rovného nule dostaneme soustavu tří rovnic pro tři neznámé proměnné:

Poslední rovnice je vazba, z prvních dvou rovnic dostaneme

Dosazením do poslední rovnice máme

takže

což po dopočítání x a y vede k závěru, že řešení (stacionární body ) jsou

Vypočítáme hodnoty f v těchto bodech (zajímají nás jen první dvě souřadnice stacionárních bodů, třetí souřadnice odpovídá multiplikátoru, který v tuto chvíli už nepotřebujeme):

Vázané maximum tedy je a vázané minimum .

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

Funkce dvou proměnných f(x, y) je znázorněna fialovou plochou. Úlohou je najít maximální hodnotu této funkce ležící na červené vazebné křivce g(x, y) = 0 (vázaný extrém). Modré ovály jsou „vrstevnice“ funkce f, tedy geometrická místa s konstantní hodnotou funkce; menší modrý ovál je vrstevnice, na které leží vázaný extrém.
Půdorys situace znázorněné na předchozím grafu. Je vidět, že vrstevnice, na které leží vázaný extrém, se dotýká křivky g v bodě, v němž obě křivky mají stejný směr – stejnou tečnu

Ve dvourozměrném případě na obrázcích je naznačena funkce a její vrstevnice , jakož i křivka odpovídající vazbě. Hledáme nejvyšší hodnotu , která se nachází na bodech této červeně vyznačené křivky (tj. vázaný extrém).

Vázaný extrém se může vyskytnout pouze na vrstevnici, kterou křivka vazby neprotíná. Jinak totiž se na jedné straně od takové vrstevnice nacházejí hodnoty vyšší a na druhé straně nižší než a proto zde nemůže nastat extrém; postupem po křivce vazby se totiž hned v sousedství daného bodu dostaneme na hodnoty vyšší nebo nižší než v tomto bodě.

Pokud se vrstevnice a křivka vazby neprotínají, musejí se dotýkat (být si lokálně tečnami). Stačí tedy analyticky vyjádřit, že se dvě křivky dotýkají, a máme nutnou podmínku vázaného extrému. K tomu účelu si uvědomme, že „lokální směr“ přímky nebo plochy určuje gradient – vektor, mířící ve směru největšího zakřivení a tedy kolmý na tečnu. Na nižším obrázku jsou gradienty naznačeny jako malé šipky vycházející z křivek.

Protože tečny jsou stejné, musejí být až na měřítko shodné i gradienty – musejí mířit stejným (anebo přesně opačným) směrem. Existuje tedy nenulová konstanta tak, že v bodě dotyku platí

neboli

kde je gradient v tomto bodě a je gradient tamtéž. Souřadnice gradientů dostaneme jako parciální derivace příslušných funkcí podle jednotlivých souřadnic, což umožní uvedenou vektorovou rovnici rozepsat po souřadnicích:

Pokud k těmto dvěma rovnicím připojíme ještě třetí, vazební rovnici , dostaneme přesně totéž, co bychom získali parciálním derivováním příslušné Lagrangeovy funkce

podle všech tří jejích argumentů a položením jednotlivých derivací rovných nule.

Tato úvaha není důkazem v přísném smyslu, protože se opírá o geometrickou intuici a neřeší různé zvláštní případy (zejména co se stane, když některý z gradientů vymizí – je roven nulovému vektoru). Lze ji však snadno zobecnit na více proměnných a vazeb, a odůvodnit tak obecnou Lagrangeovu metodu.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. KARUSH, William. Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints (Minima funkcí více proměnných s nerovnostmi jako omezujícími podmínkami). , 1939. Disertační práce. Dept of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois. .
  2. KUHN, Harold W.; TUCKER, Albert W. In: Proceedings of Symposium 2. Berkeley. Berkeley: University of California Press, 1951. Kapitola Nelineární programování, s. 481–492.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]