Eukleidova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách.

Eukleidova věta je označení pro dvě geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníku, pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematikovi Eukleidovi.

Eukleidova věta o výšce[editovat | editovat zdroj]

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.


Důkaz 1[editovat | editovat zdroj]

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB, tvrzení vyplývá z podobnosti trojúhelníků APC a CPB:

Větu lze rovněž dokázat pomocí Pythagorovy věty, z ní plyne:

Rovnice sečteme:

upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

rozepíšeme a roznásobíme dvojmoc přepony, odečteme dvojmoci jejích úseků:

a vydělíme dvěma:


Velký trojúhelník je poskládán dvěma způsoby. Čtverec nad výškou je nahrazen obdélníkem.

Důkaz s využitím Pythagorovy věty není zdaleka jediným. Tvrzení lze elementárně dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků, v Eukleidových Základech je tato rovnosti obsahů čtverce a obdélníka dokázána v druhém díle (Kniha II, tvrzení 14). Nejjednodušší je důkaz přerovnáním shodných útvarů.

Důkaz 2[editovat | editovat zdroj]

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami ca a cb. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu . Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsně[editovat | editovat zdroj]

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

Důkaz 1[editovat | editovat zdroj]

Předpokládáme, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z Pythagorovy věty plyne:

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Důkaz Eukleidovy věty o odvěsně. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsoben. Čtverec nad odvěsnou je nahrazen obdélníkem.

Podobně jako u předcházející věty je možné tvrzení dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků, nebo přerovnáním shodných útvarů. V Eukleidových Základech je tato rovnosti obsahů čtverce a obdélníka naopak součásti důkazu Pythagovy věty (Kniha I, tvrzení 47).

Důkaz 2[editovat | editovat zdroj]

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a cb. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu je nahrazen obdélníkem o obsahu .

Délka výšky[editovat | editovat zdroj]

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku .

Platí:

Po dosazení do druhého vzorce:

Dopočet :

Po dosazení do prvního vzorce:

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.