Eukleidova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách.

Eukleidova věta je označení pro dvě geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníku, pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematikovi Eukleidovi.

Eukleidova věta o výšce[editovat | editovat zdroj]

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.


Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB, tvrzení vyplývá z podobnosti trojúhelníků APC a CPB:

Větu lze rovněž dokázat pomocí Pythagorovy věty, z ní plyne:

Rovnice sečteme:

upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

rozepíšeme a roznásobíme dvojmoc přepony, odečteme dvojmoci jejích úseků:

a vydělíme dvěma:


Eukleidova věta o odvěsně[editovat | editovat zdroj]

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Předpokládáme, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z Pythagorovy věty plyne:


Tvrzení lze elementárně dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků. Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku .

Platí:

Po dosazení do druhého vzorce:

Dopočet :

Po dosazení do prvního vzorce:

Výška tohoto trojúhelníku je 3,9.