Divizibilní grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V teorii grup, podoboru matematiky, se divizibilní grupou rozumí taková Abelova grupa, v které lze „dělit“ (v případě aditivní notace) respektive „odmocňovat“ (v případě multiplikativní notace) libovolným přirozeným číslem. To jinými slovy znamená, že každý prvek grupy je pro libovolné přirozené n ntým násobkem, respektive ntou mocninou nějakého prvku grupy. Divizibilní grupy jsou důležité při zkoumání struktury abelovských grup.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Abelovská aditivní grupa G je divizibilní tehdy a jen tehdy, když pro každé přirozené číslo n a libovolný prvek g grupy G platí, že v této grupě existuje také prvek h takový, že nh=g. Notace nh v tomto případě znamená:

nh = \underbrace{h + \ldots + h}_{n},

Ekvivalentní definice říká, že zobrazení z G do G, které každému g z grupy G přiřadí ng, je pro všechna n surjektivní, neboli jeho obrazem je celá grupa G.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Příkladem divizibilní grupy je grupa racionálních čísel se sčítáním.