Diskuse:Souřadnicový zápis tenzorových veličin

Clanek je velmi zmateny.

1. Za prvni vubec neni o vektorech ale tenzorech.
2. Dale neni ani o tenzorech, ale spise o relativisticke konvenci zapisu tenzoru.
3. Povidani kolem zavedeni metrickeho tenzoru a pytagorovy vety je dost podivne; metrika proste meri vzdalenosti. (Ta vzdalena souvislost s P.V. je mozna u R. tenzoru.)
4. V "Stručné zavedení metrického tenzoru", proc se tam objevuji ty dx symboly? Cely zbytek clanku vypada, ze vse je nad nejakym vektorovym prostorem, a tady na jednem miste se najednou naznacuje, ze jde o nejake souradnice kovekrotovych poli na variete, aniz by se o tom nejak zminilo?..
5. Vztah g^{ij} g_{jk}=delta^i_k (pominu li chybu, ze je tam j misto k), neni "dusledek tenzorove analyzy", spise definice g^{ij}, pokud je definovano g_{ij}.
6. V kapitole Obecne zavedeni.. u tech epsilonu.. mam pocit,ze je tady sice opsana "fyzikalni hantyrka" ale tak, jak je to napsano, to smysl nema. Epsilony jsou jenom sada cisel, kdezto g je metrika, nezavisla na bazi. Nehlede na to, ze o encyklopedicnosti takovychto tvrzeni/zapisu (nebo co to je) mam pochybnosti.
7. Cast "dulezite identity" tak jak je napsana, smysl nema. Znacit sgn g znamenko determinantu nevim, zda je uplne standardni,ale ok. U treti identity vubec nevidim, kde se na prave strane vyuzivaji konstanty m_i. Hlavne tam nikde neni napsano, co autor zrovna rozumel pod symbolem tech epsilonu, takze tezko posoudit, zda to ma smysl. Jenom si domyslim, ze je to tenzor, ktery n vektorum priradi objem rovnobeznostenu, ktery napnou v metrice g -- az na znamenko (ktere je urceno nejakou orientaci tech vektoru) (?). Anebo ne?
8. Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu -- co tam zavisi na metrice? Veta za vzoreckem asi nejaky smysl ma, ale je matouci.
9. "Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu" -- na to, ze je dal jenom definice parcialni derivace, je to trochu prehnany nadpis, ale kdyz uz tam tu carku uvadet, nebylo by lepsi rict nejdriv neco o tom, ze x jsou lokalni souradnice a A tenzorove pole?
10. "Porovnání jednotlivých notací" -- v prvnim vzorci se michaji vektory a kovektory, ale budiz, fyzikalne je to asi jedno. Take je tam misto g_{ij} najednou \delta_{ij}, neznamo proc. V druhem vzorci by bylo zase prirozenejsi, kdyby mel epsilon prvni index nahore. U posledniho, te rotace, bych tam take cekal nejaky epsilon - symbol, jinak je to uz hodne abstraktni zapis.. Franp9am 13. 4. 2011, 00:13 (UTC)
11. "Determinant metrickeho tenzoru" neni vubec dobre definovany objekt (zavisi na souradnicich), az ted jsem si to vsimnul.. Franp9am 17. 4. 2011, 21:29 (UTC)
12. "Je-li metrický tenzor konstantní, pak veličina vzniklá operátorem čárky z tenzorové veličiny je opět tenzorová veličina." -- prvni cast vety se asi vztahuje ke konkretnim souradnicim (co jinak znamena, ze m.t. je konstantni?) -- a dale kovariantni derivace tenzoru je vzdy tenzor.. tady mi opet unika co se chce rict. Franp9am 17. 4. 2011, 21:38 (UTC)

1-2. Ano, takto je zamýšlen. Hlavním poselstvím článku má být stručné shrnutí formalismu používaného pro zacházení s tenzory v teorii relativity. Pokud tomu neodpovídá název, článek můžeme přejmenovat. (Třeba na Souřadnicový zápis tenzorových veličin?) Zkusím přizpůsobit úvod, aby to bylo jasnější. Článek nemá vysvětlovat, co je to tenzor.

Presun na Souřadnicový zápis tenzorů by byl mozna lepsi nez soucasny nazev, ackoliv si nejsem uplne jist encyklopedickou vyznamnosti. Idealnim resenim podle meho nazoru by byl presun na wikiknihy. Porad mam pocit, ze to tady nejak nema uplne misto a porusuje to zavazne pravidlo Wikipedie není návodem, průvodcem ani učebnicí.

3. Myslím, že příměr k P.V. je bližší, než se zdá. Diferenciály souřadnic se transformují jako vektory a úžení s metrickým tenzorem udává vzdálenost (velikost vektoru vzniklého sečtením infinitesimálních posunů). Pro diagonální metrický tenzor diag(1,1,1) je to skutečně Pythagorova věta pro limitně malý trojúhelník, kde diferenciály souřadnic jsou vzdálenosti odvěsen a celková velikost uražené vzdálenosti ds je odvěsna. Důvod, proč jsem to tam chtěl je, že pro fyzika (což je typický uživatel tohoto formalismu) je to asi nejpřístupnější cesta k intuitivnímu pochopení metrického tenzoru. Riemannův tenzor myslím s P.V. souviset nebude, rozhodně ne nijak jednoduše.

No, samozrejme, pokud vzdalenost definujete pytagorovou vetou, tak pak muzes rict ze "vzdalenost souvisi s pytaforovou vetou", ale zavani to trochu vlastnim vyzkumem.. Pytagorova veta je objektivni tvrzeni o "realnem svete" (anebo alespon euklidovskem), kdezto g_{ij} je definice "vzdalenosti". Je to ovsem jenom muj pohled, mozna POV - pardon. S tim R.tenzorem jsem to myslel tak, ze jedna z jeho moznych interpretaci je prave odchylka od pytagorovy vety v infinitezimalnim trojuhelniku, pokud se zvoli "dva tecne vektory" a maly trojuhelnik urcen prislusnymi geodetikami.. da se to nejak formalizovat a k tomu bych referenci dohledal (u ploch je treba nulova krivost ekvivalentni tomu, ze pytagorova veta "plati").

Je to jenom názorná pomůcka, v žádné formálnější učebnici by to neobstálo, přesto bych asi našel citace na dost fyzikálních "méně formálních" textů s tímto přirovnáním. (VV to není :-) ) Ale pokud Ti přijde matoucí, dávám ji pryč - nemá cenu trvat na pomůcce, pokud máš dojem, že je zavádějící. --Irigi ✉ 22. 4. 2011, 09:19 (UTC)

4. Ano, chybí tam formální vysvětlení toho, co jsou to ty diferenciály souřadnic z pohledu diferenciální geometrie. Teď úplně nevím, musel bych si to osvěžit. Snad se k tomu ještě dostanu.

5. Opraveno.

6-7. Tato část je motivovaná hodně špatně a vzorečky jsou hodně speciální a vytržené z kontextu. Něco jsem přidal a tu část s identitami jsem zatím zakomentoval. Možná se bude hodit do článku o Levi-Civitově pseudotenzoru.

8-9. Tohle snad půjde spravit malým rozšířením textu, které zkusím dopsat. Když derivuji tenzorové pole, tak část členů vychází ze změny souřadnic pole a část ze změny báze podle polohy. Když je metrický tenzor nekonstantní, tak obecně do vztahů přichází afinní konexe odvozené z metriky. Tato část by tam měla být a chybí. Nejradši bych přidal zápis kovariantní derivace v souřadnicovém formalismu.

No tyto informace by podle mne logicky patrili spise do clanku Levi-Civitova konexe, resp. metrická konexe, který chybí. Franp9am 16. 4. 2011, 17:17 (UTC)

10.

Ad míchání kovektorů s vektory: Celkově je ten skalární součin skalár. Fyzikálně není jasně řečeno, jestli jsou ty původní "vektory" skutečně vektory, nebo kovektory, protože v Eukleidově prostoru na tom užitý formalismus nezáleží. Všechny zápisy v souřadnicovém formalismu jsou tedy ekvivalentní a volba, který použít, je na uživateli. Všechny tvary jsou tam uvedeny právě ke zdůraznění tohoto faktu.

Ad Delta místo g_ij -- uvedeno na pravou míru.

Ad zápis rotace -- epsilon-zápis je přirozený v trojrozměrném prostoru. Kdybych ale šel do více dimenzí, tak mám k dispozici už jenom epsilony s mnoha indexy a přes epsilon rotaci nemohu nadefinovat. Obecně správně je proto skutečně zápis tak, jak tam je uvedený. Ale je pravda, že spojení s "klasickou rotací" zřejmé moc není. Zatím jsem tento řádek zakomentoval.

Asi to bude "De Rhamuv diferencial na nejake vektorove pole zapsan v kartezskych souradnicich" nebo tak neco -- nevedel jsem ze se tomu rika rotace i ve vyssi dimenzi -- ale nerozumel jsem tomu j-cku spise formalne, zda se pres nej scitava (?). Zrejme vysledek je antisymetricka matice a i,j jsou radek a sloupec, pokud to spravne chapu. Franp9am 16. 4. 2011, 15:20 (UTC)

Ta transformace se myslím jmenuje Hodgeův duál. Je pravda, že rotace se tomu ve více rozměrech asi neříká, takže by asi v tabulce skutečně měl být zápis rotace s epsilonem a ta zobecněná rotace by měla jít pryč. --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 19:08 (UTC)

Ne, hodguv dual je ztotozneni k-vektoru a n-k - vektoru, pokud ma clovek metriku. De rhamuv dif. muze jit s vektorovych poli do 2-forem, ktere se daji asi ztotoznit s "matici" nejakym vzoreckem jako je ten pro rotace.. Franp9am 16. 4. 2011, 19:25 (UTC)

11. Ta závislost na souřadnicích je v pořádku - prostě definuji $\varepsilon$ v nějaké souřadné soustravě tím, že napíšu jeho složky. Správnou transformací $\varepsilon$ se dá ukázat, že definice je konzistentní. (Tj. že když jej přetransformuji do jiné vztažné soustavy soustavy souřadnic, vyjdou jeho složky opět rovny odmocnině z determinantu metriky v té dané bázi.) Ale když se na to dívám, tak to není pseudotenzor, ale tenzorová hustota (váha záleží na tom, jestli je to kovariantní nebo kontravariantní tvar). To opravím, nebo zmínku vyřadím. --Irigi ✉ 18. 4. 2011, 16:27 (UTC)

Ted si mozna nejak nerozumime. Determinant z metriky nema smysl, to neni vubec definovano. Ten epsilon-tenzor je zcela obycejny tenzor, bezne se definuje takto: zvolme na prostoru nejakou orientaci a pak to vektorum v_1,...,v_n priradi objem rovnobeznostenu (definovany metrikou), pokud jsou kladne orientovany, a minus objem rovnobeznostenu, pokud jsou zaporne orientovane. Pokud je to opravdu toto, tak je to zcela obycejny tenzor, zadne pseudo-neco ani hustota. Take to muzes definovat v souradnicich v jedne konkretni (treba ortogonalni) bazi. To slovo pseudo- se zrejme pouziva v ruznych, vzajemne nakompatibilnich, vyznamech. Mozna se nekdy pouziva i pro tento tenzor (protoze u zrcadleni slozky zmeni znamenko), jedna se vsak o zcela obycejny tenzor (nazyva se take forma objemu a da se podle nej integrovat na orientovatelnych Riemannovych varietach). Anebo to treba opravdu myslis tak jak to pises -- a opravdu to ma byt determinant z metriky -- a pak by to opravdu byla nejaka podivnost jako pseudotenzor. Ale neverim, ze se to takto bezne pouziva (??). A nakonec: to co pises, ze by to melo slozky jinde nez vsechny dolu -- to je asi jedno, pokud mas metriku, tak muzes indexy zvedat.. Franp9am 18. 4. 2011, 21:32 (UTC)

Pardon, beru zpatky -- jsem si to rozmyslel, opravdu je definice spravna -- toto jsem ja nemel rozmysleno, pardon. Jenom poznamka: je to zcela obycejny tenzor, proto bych byl opatrny s tema pseudo-vecma. Tranfsormuje se jako tenzor. Zavisi na metrice a orientaci. Zdravim Franp9am 19. 4. 2011, 10:27 (UTC)

Ano, propočítal jsem si to a máš pravdu. Ono totiž záleží na definici. Když to definuji tak, jak je to v článku ($\scriptstyle \varepsilon _{12\dots n}={\sqrt {|g|}}$), tak to je tenzor. Kdybych chtěl definovat $\scriptstyle \varepsilon _{12\dots n}=1$, tak to je tenzorová hustota váhy -1 (determinant v transformaci mi kompenzuje sqrt g). Díky za upozornění! --Irigi ✉ 19. 4. 2011, 12:03 (UTC)

Diskuse mimo vyjasňování bodů výše

Ad sloučení s článkem tenzor: Nejsem proti, ale článek je tématem někde mezi teorií relativity a tenzory. Nedílnou součástí formalismu jsou právě epsilony a g_ij, kde metrika je spíš tenzorové pole na varietě než jenom tenzor. Je otázka, jestli má smysl tohle všechno definovat v článku o tenzorech, nebo spíše z tenzorů odkázat sem.

No, něco jsem s tím udělal, snad je to k lepšímu. Je jasné, že mouchy to ještě má, třeba se k tomu ještě dostanu. Na smazání už to snad není. --Irigi <♠|☼> 16. 4. 2011, 13:03 (UTC)

Jeste poznamka k uvodu: s diferencialnimi formamy to je spatne, diferencialni formy jsou jenom nektere tenzory -- ty, ktere jsou kovariantni a totalne antisymetricke. Navic se tady opet michaji tenzory a tenzorova pole, coz je sice ve fyzice bezne, ale na wikipedii by to mohlo byt naformulovano trochu jasneji..

OK, upřesním. Jak se tedy v diferenciální geometrii říká kovektorům? Myslel jsem, že to jsou mj. taky diferenciální formy a antisymetrické diferenciální formy jsou jenom jejich speciální podtřída. Ale moc tomu nerozumím - vždycky jsem to bral spíš fyzikálně "uživatelsky". --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 19:08 (UTC)

Kovektorum se rika bud kovektor, anebo forma -- pokud jde o kovektorove pole, rika se tomu diferencialni forma, presneji forma prvniho radu. Diferencialni forma vyssiho radu je uplne antisymetricky tenzor. Franp9am 16. 4. 2011, 19:25 (UTC)

To s tim pseudotenzorem, ackoliv vim, ze fyzici takto bezne mluvi, mi nepripada uplne stastne -- ono to totiz je bud sada cisel, anebo tenzor. Skutecnym obsahem tvrzeni o pseudotenzoru je pouze invariance souradnic vuci jiste grupe transformaci. Ackoliv uznavam, ze fyzici takto bezne mluvi, nepripada mi moc dobre to sem opisovat z tech knih bez vysvetleni.

Asi nerozumím podstatě námitky. Tenzor je taky jenom invariance veličiny vůči nějaké grupě transformací indukovaných transformací souřadnic. Myslím, že to je regulérní termín běžně používaný alespoň ve fyzice. (Viz článek na en.) Nerozumím moc tomu, proč třeba pojem tenzor používat a pojmu pseudotenzor se vyhnout.. Na úrovni, kterou článek předpokládá, by oba pojmy měly být známé -- a pokud je čtenář nezná, tak stačí kliknout na odkaz a dozvědět se, o co jde. Pokud je to termín, můžeme se vyjádřit přesně. --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 19:08 (UTC)

Jsem proto, aby se tady o pseudotenzoru mluvilo, a taky by bylo dobre o nem napsat clanek a vysvetlit souvislosti -- jen je dobre mluvit jasne, co to znamena. Wiki neni pro lidi, ktery vse vedi (tahak pro studenty relativity). Pseudotenzor je jenom specialni pripad tenzora, a navic se vztahuje ke konkretni metrice a ortogonalnim souradnicim v ni. Takto to vyzniva, jako by slo o jiny objekt (jako by pseudotenzor nebyl uplne obycejny tenzor). Ale to jsou drobnosti Franp9am 16. 4. 2011, 19:25 (UTC)

Jeste jednou: precet jsem ten clanek na en wiki o pseudotenzoru a podle tamte definice Levi-Civita pseudotenzor zcela jiste neni (protoze je to normalni tenzor). Ackoliv vim ze bezne se tomu pseudotenzor rika, protoze pri ortogonalni transformaci s det -1 to jenom zmeni znamenka. Ale ta zmena znamenek se spocte z normalniho vzorce pro transformaci souradnic. Zrejme jsou kolem ruznych pouziti tohto slova ruzne zmatky a nedorozumeni, proto bych byl radsi opatrny. Franp9am 16. 4. 2011, 19:46 (UTC)

Obecne si myslim, ze to muzme spolecnymi silami trochu vylepsit, nektere veci trochu upresnim -- ackoliv uprimne neverim, ze to nekdy muze byt plnohodnotny encyklopedicy clanek, prilis mi to pripomina "prirucku vzorcu pro techniky" Zdravim a dik za reakce Franp9am 16. 4. 2011, 14:27 (UTC)

Přesun na Wikiknihy

Přiznám se, že zrovna u tohoto článku se mi myšlenka přesunu na Wikiknihy moc nelíbí. Článek je heslem popisujícím jeden konkrétní druh formalismu. Sám o sobě jako wikikniha by nedával moc smysl. Myslím si, že pravidlo Wikipedie není návodem, průvodcem ani učebnicí článek neporušuje, protože návodem, průvodcem ani učebnicí není. Je článkem o (podle mne encyklopedicky významném) druhu formalismu, který se alespoň na české relativistické scéně velmi často používá. Jelikož jsem článek psal já, nedokážu od toho nestranně odhlédnout. Navrhuji zeptat se několika dalších wikipedistů, kteří předmětu rozumí a rozhodnout se o věci podle jejich názoru. --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 19:08 (UTC)

Ahoj. Já bych to nepřesouval a asi ani neslučoval, jen bude potřeba vhodnější název. Myslím, že vysvětlení formalismu tady má svoje místo, pokud ten formalismus sami používáme v jiných heslech. Analogicky tu máme například vědecký zápis čísel, Einsteinova sumační konvence. Měl by na to být odkaz všude, kde tu konvenci používáme. Pomůže to čtenářům jako já, kteří pořádně nevědí, kdy se má index psát nahoru a kdy dolů. (Vzpomínám na čtyřvektor.) Po obsahové stránce to nechám na vás, Irigi a Franp9am, já OTR moc neovládám. --egg 16. 4. 2011, 19:51 (UTC)

Mala namitka: jaky to ma smysl, kdyz to uz stejne je v (a v podstate to patri do) clanku tenzor? A pokud prece jenom myslis, ze je to na samostatny clanek, jaky nazev bys navrhnul? Franp9am 16. 4. 2011, 19:54 (UTC)

Mám dojem, že v článku tenzor se tento formalismus používá jenom pro zavedení transformačních vlastností tenzoru. (Zbytek formalismu se tam nevysvětluje, a asi pro to ani není místo.) Ale dále se třeba používá v článcích Afinní konexe, Pseudotenzor, Kovariantní derivace, Obecná teorie relativity, apod. Netvrdím, že všechny tyto články ten formalismus používají nějak moc, nebo že jsou všechny nějak extra dobře napsané, ale neřekl bych, že jediné místo, kde se objevuje je článek tenzor. --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 19:59 (UTC)

No, ja presne nevim, o jakem formalizmu konkretne mluvis. Zda se mi, ze vse v clanku tenzor je uz ted, krome veci, ktere z meho pohledu jsou nepresvedcive a nejasne (jako napriklad tvrzeni o "zavedeni metrickeho tenzoru" pomoci deseti nejasnych pismen). Na druhe strane, pokud clanek zustane, nic se nestane, ale pod timto nazvem urcite ne.. Franp9am 16. 4. 2011, 20:09 (UTC)

Právěže se to používá na různých místech a IMHO není dobré formalismus vysvětlovat pokaždé znova. I ten čtyřvektor odtud něco využívá, přidal bych do něj poznámku pod čarou. Název, no nevím jistě... V úvodu je teď souřadnicový zápis tenzorových veličin, to by možná použít šlo. --egg 16. 4. 2011, 20:13 (UTC)

Dobre, tento nazev odpovida tematu. Pokud souhlasi i Irigi, tak to presunu a casem alespon upravim alespon nektere casti hlavne to kolem "zavedeni" metrickeho tenzoru. Muze byt? Franp9am 16. 4. 2011, 20:17 (UTC)

Lepší popis mne nenapadá a termín na to myslím přímo není. Snad jenom Relativistický zápis tenzorových veličin v souřadnicích, ale je to docela dlouhé. Asi vyber jeden z těchto a přesuň to prosím. Zkusím projít nepřesnosti, na které jsi upozorňoval a opravit je. Díky! --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 20:24 (UTC)

Presunuto. Toto je jedna z prvnich vet: "Ke specifikaci toho, o jakou bázi jde (tj. jakou soustavu souřadnic přesně používáme) zpravidla slouží jen zadání složek metrického tenzoru v této bázi. " -- nechapu co se tady chce rict. Metrika nezadava bazi, nebo co to je? ... Franp9am 16. 4. 2011, 20:31 (UTC)

To je asi nepřesně vyjádřeno. Pokud mám zadané souřadnice a mám metriku, tak je tím definovaná báze, nebo ne? Chtěl jsem tím říct zhruba toto, ale myslím, že tam ta věta být nemusí, radši ji dávám pryč. --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 20:43 (UTC)

Irigi, baze a souradnice je to same. Metrika s tim nesouvisi. Ajajaj, asi jsi uz z lingebri hodne pozapomel. A ja to zase kazdorok dokola ucim. Tak se nezlob, ze jsem na to trochu precitlivelej :-) Franp9am 16. 4. 2011, 20:44 (UTC)

Uvod

"Formalismus zápisu tenzorových veličin v souřadnicích je vyvinut takovým způsobem, aby forma zápisu tenzorové rovnice nezáležela na použitých souřadnicích, "

.. nerozumim, co se tady chce rict, co nezavisi na souradnicich?

Pokud mám rovnici $A^{j}=B^{jk}C_{k}$, tak se její forma nezmění, když změním souřadnice. (Myšleno forma zápisu té rovnice, změní se složky tenzorů, ale pokud zapíšu rovnici takto, bude stále platit.) --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 20:56 (UTC)

To plati urcite pro uzeni tenzoru, ale neni jasne, co vse se muze myslet "formou zapisu". Ve skutecnosti je uzeni indexu jednou z mala takto invariantnich operaci. Franp9am 16. 4. 2011, 21:01 (UTC)

"..což odráží skutečnost, že pokud na pravé i levé straně takové rovnice jsou tenzory stejného typu, pak platí-li rovnost v jedné soustavě souřadnic, platí ve všech souřadných soustavách.."

neni to banalita? Pokud se leva strana rovna prave, jde o stejny objekt? Anebo se tvrdi, ze dva tenzory jsou stejne, rovnaji-li se jejich souradnice v nejake bazi?

Tvrdí se, že pokud vím, že se objekt transformuje jako tenzor a rovnost platí v jedné souřadné soustavě, tak bude stejná (=v tomto formalismu stejně zapsaná) rovnice platit i po transformaci souřadnic (i když hodnoty souřadnic tenzoru budou jiné). --Irigi ✉ 16. 4. 2011, 20:56 (UTC)

Co myslis pod pojmem rovnice? Treba diferencialni rovnice urcite ne -- jenom gradient, laplace a pod. maji podobne invariantni vlastnosti, a to take navic jenom vuci ortogonalni grupe. Algebraicka rovnice take ne -- uz linearni rovnice x^1 =0 (x^1je prvni slozka vektora x) po zmene souradnic nebude platit. To snad plati obecne jenom pro konstanty, 0=0 plati i kdyz zmenis souradnice. Franp9am 16. 4. 2011, 21:01 (UTC)

Podle Tvého komentáře vidím, že to ještě budu muset trochu víc specifikovat - přišlo mi to samozřejmé, ale vidím, že určitě není. Rovnicí se myslí tenzorová rovnice v obecném tvaru, s využitím jen volných indexů. Tj. pokud napíšu A^i = B^i, pak je zápis platný v každé soustavě souřadnic. Pokud napíšu A^1 = B^1, pak nic nevím o dalších složkách a transformace mi je samozřejmě zamíchá. --Irigi ✉ 17. 4. 2011, 08:02 (UTC)

Jedna z techto identit je nezavisla na souradnicich:

$(-1)^{i+j}(T_{i}^{i}T_{j}^{j}-T_{j}^{i}T_{i}^{j})=0$

anebo

$(T_{i}^{i}T_{j}^{j}-T_{j}^{i}T_{i}^{j})=0$

(v obou rovnicich se mysli suma pres i,j). Ktera? Urcite na to prijdes, ale -- je to videt bez nejake dalsi uvahy? Franp9am 19. 4. 2011, 08:35 (UTC)

Zrovna tady to vidět je snadno - mínus jedna není tenzor a přesto na ni nabaluji indexy z tenzorového úžení, takže není důvod očekávat, že identita bude invariantní. Ale není to bez další úvahy. Myslím, že rozumím Tvojí námitce k vágním formulacím o invarianci - pokud to vyvolává dojem, že bych měl čekat, že formule typu té první jsou taky invariantní, je to špatně vysvětleno. Buďto je dám pryč, nebo vysvětlím lépe. --Irigi ✉ 20. 4. 2011, 18:30 (UTC)

Myslím tím rovnice "tenzor = tenzor". Pokud to, co je na každé straně rovnice je tenzor, pak pokud rovnice platí v jedné souřadné soustavě, platí ve všech. Týká se to algebraických rovnic ($A^{j}=B^{jk}C_{k}$, $C^{jk}=B^{j}A^{k}$, ...), tak diferenciálních rovnic ($\scriptstyle {A^{i}}_{j}={B^{i}}_{;j}$, kde středník je kovariantní derivace). Pochopitelně musím vědět, že to, co je na každé straně rovnice je tenzor, tedy že to vzniklo korektní tenzorovou operací (úžení nebo tenzorový součin), nebo že to vznilo kovariantním derivováním. (Zrovna to v článku ještě moc není - uvádím operátor čárky pro soustavy s konstantním metrickým tenzorem, chtělo by to zmínit kovariantní derivaci trochu víc.) --Irigi ✉ 17. 4. 2011, 08:02 (UTC)

Ahoj Irigi. Priznam se ze cim dal tim vic neverim, ze z toho muze neco smysluplneho vzniknout. Ale konkretne:

(1) prvni problem je ze neustale smichavas tenzory a tenzorova pole. Pokud jde o tenzory, tak tve tvrzeni by se dalo asi rict takto:

Pokud mam rovnici, kde na obou stranach se vyskytujou slozky tenzora a pevne dane indexy, scitavani a nasobeni, tak za predpokladu, ze se v rocnici vyuziva urcita mnozina operaci (uzeni, tenzorove nasobeni, symetrizace, antisymetrizace...) tak pokud takova rovnice plati v jedne soustave tak plati i v druhe.

To je ale problem, protoze pokud budes chtit specifikovat "povolenou mnozinu invariantnich operaci", zjistis, ze to neni vubec jednoduche. Sam nevim, zda uzeni, tenzorovy soucin, symetrizace a antisymetrizace urcitych indexu jsou vsechny "povolene" moznosti, ale spise si myslim ze ne. Uzeni a tenzorovy soucin jsou priklady, ktere uvadis vyse, jsem ale zvedavej zda krome (anti)symetrizace vymyslis jeste neco dalsiho (samozrejme pokud tam mas jeste g, tak pribyde zvedani a spousteni indexu a mozna par dalsich veci).

(2) Pokud chces mluvit o kovariantnich derivacich, mas zrejme na mysli, ze se jedna o tenzorova pole. Ale tady je zase problem: kovariantni derivace zavisi na konexi. Jaka je to konexe? Zrejme autmaticky mlcky predpokladas, ze je to Levi-Civitova beztorzni konexe urcena metrikou g. To by se tam melo take napsat. Pokud mas takto vymezene predpoklady, pak se da mluvit o tom, ze nejaka rovnice (kde se vyskytuje kovariantni derivovani) nezavisi na souradnicich.

To je ale slozity problem! Pak zjistis, ze bude existovat velka trida diferencialnich operatoru a "vzorcu", ktere se nezmeni, pokud zmenis souradice jenom urcitym zpusobem (treba ortogonalne vuci metrice g, ktera definuje konexy), kdezto jine "rovnice" budou podobne invariantni treba vuci vsem moznym zmenam souradnic.

Klasifikovat toto je ale slozite -- o invariantnich diferencialnich operatorech se pisou monografie!

(pokud to ovsem nezamyslis schovat do nicnerikajiciho slova "pokud je operace tenzorova" :)) )

Proto jsem od zacatku proti tomuto clanku, protoze je to podle meho nazoru smes ruznych nedoroumeni, ktere kdyz se napisou presne tak se ukaze, ze to vubec neni jasne, co se chce rict.

Mam v dlouhodobem planu casem vylepsit clanek tenzor, aby se ruzne myty uvedli na pravou miru, nad timto clankem predem lamu hul, protoze je to uz podle nazvu hrozny mix vseho se vsim. Franp9am 17. 4. 2011, 14:11 (UTC)

Ano, máš pravdu, že všechny pojmy použité v článku v něm nepůjde vysvětlit, protože jsou prostě moc složité a je toho dohromady moc. Ale já to vidím tak, že cílem tohoto článku není objasnit pojmy, ale objasnit způsob zápisu. Tzn. pokud někdo chce zjistit, jak relativisti zapisují tenzory a už ví, co je tenzor, měl by se to dozvědět. Pokud narazí na pojem metrická konexe nebo kovariantní derivace a nerozumí jim, nepředpokládá se, že by ho s tím tento článek seznámil. (Místo toho může následovat odkaz.) Samozřejmě zkusím upřesnit pojmy kdekoliv je to potřeba, ale nemyslím, že článek je potřeba zatratit jenom proto, že je hodně široký a pojmy, které používá, nedefinuje úplně. --Irigi ✉ 18. 4. 2011, 16:27 (UTC)

No, nejde mi ani o upresnovani pojmu, ale s tou invarianci objektivne nesouhlasim. Treba pro tenzor tretiho radu vlastnost T_{ijk}+T_{jki}+T_{kij}=0 nezavisi na souradnicich. Ale kdyby ten prvni index byl nahore, tak by to uz zaviselo. A kdybych napsal nejakou podobnou, ale trochu slozitejsi identitu pro tenzor vyssiho radu, je obtizne zjistit, zda je to invariantni rovnice (vuci vsem zmenam souradnic). Takze ty vety, jak neco nezavisi na souradnicich -- s nima opatrne. (Tyto problemy souvisi s reprezentacemi obecne linearni grupy).. Napis tam treba jenom "vyctem", ze to plati pro uzeni a tenzorove nasobeni a symetrizaci a jistou konretni mnozinu operaci s kovariantnima derivacema, o kterych jsi si jist, ze je to pravda. Zdar Franp9am 18. 4. 2011, 20:31 (UTC)

Uprava uvodu

Dovolil jsem si udelat nekolik drobnych uprav uvodu. Jednak jsem -- doufam -- uved na pravou miru ty poznamky o invarianci, a smazal jsem poznamku "ale zdaleka ne univerzalne". Totiz tam neni jasne, zda se chtelo rict "nektere relativisticke knizky tento formalizmus nepouzivaji" (to je ale pro ucely tohto clanku celkem zbytecna, trivialni info), anebo "tento formalizmus se pouziva i jinde nez v relativite", anebo "tento formalizmus se pouziva v relativite, ale na popis nekterych problemu nestaci", anebo co vlastne (jako reference tam byla jenom "kniha" bez upresneni).

Pokud s tym souhlasis, tak tento uvod bych povazoval za encyklopedicky a primereny (zbytek clanku zatim ne).

Tenzory a tenzorová pole

Tady se asi dostávám do problému s tím, že fyzici tohle prostě používají relativně vágně. V relativitě jsou v podstatě všechny tenzory závislé na souřadnicích (tj. jsou to předpokládám ve skutečnosti tenzorová pole, jen jim tak fyzici neříkají.) Pokud mám obecnou soustavu souřadnic, pak je metrický tenzor závislý na poloze (je obecnou funkcí souřadnic). Znamená to, že je to tenzorové pole? Je lepší místo toho říkat "metrika" a zdůraznit, že metrika je tenzorové pole? Ve fyzice je používání pojmu metrický tenzor pro tenzorové pole myslím běžné, takže možná nemá smysl se tomu pojmenování snažit vyhnout za každou cenu, nevím.. Co si o tom myslíš? --Irigi ✉ 18. 4. 2011, 16:27 (UTC)

Ahoj, no ve fyzice tenzor=tenzorove pole = sekce tenzoroveho bundlu. Metrika=tenzorove pole 2 krat kovariantni. Asi bych nerikal "tenzor je zavisly na souradnicich", protoze v kazdem bode je to jiny tenzor (nad jinym vekorovym/tecnym prostorem). (Spise mozna souradnice tenzora jsou zavisle na souradnicich bodu na variete). To je ale v poradku, v tom, co jsem psal vyse, jsem spis protestoval proti tomu zjednodusovani pojmu "invariance" ktere bylo podle meho nazoru objektivne matouci. Jinak mi je "spravne pojmenovani" fuk.. :-) Franp9am 18. 4. 2011, 20:24 (UTC)

A jeste poznamka: pokud chces clanek vylepsovat, oprav ty veci kolem epsilonu -- dodal jsem nahoru dalsi dva bodu (11. a 12.) -- determinant metrickeho tenzoru neexistuje, to je nejake nedorozumeni (je to sice zvlastni, ale zmanenko determinantu presto definovano je, mozna z toho nedorozumeni vzniklo) -- a take ta cast kolem zavedeni metrickeho tenzoru je divna -- je to proste jenom jeden tenzor ktery "je dan".. Franp9am 18. 4. 2011, 20:57 (UTC) pardon, vyjadril jsem se vyse Franp9am 18. 4. 2011, 21:38 (UTC)