Diskuse:Jacobiho matice (třídiagonální)

Nepravdivost některých tvrzení

Odstavce:

Každou reálnou symetrickou matici $A\in \mathbb {R} ^{k\times k}$, $A=A^{T}$ lze převést ortogonální transformací na Jacobiho matici. Tedy existuje ortogonální matice $G\in \mathbb {R} ^{k\times k}$, $G^{-1}=G^{T}$ tak, že

$GAG^{T}=J,$

kde $J$ je Jacobiho matice.

Každou hermitovskou matici $A\in \mathbb {C} ^{k\times k}$, $A=A^{H}$ lze převést unitární transformací na Jacobiho matici. Tedy existuje unitární matice $G\in \mathbb {C} ^{k\times k}$, $G^{-1}=G^{H}$ tak, že

$GAG^{H}=J,$

kde $J$ je (reálná) Jacobiho matice.

neplatí, protože jednotková matice řádu dva není podobná žádné Jacobiho matici. Navíc by všechny reálné symetrické matice musely mít všechna vlastní čísla různá, což také není pravda. --Jirka Fiala (diskuse) 19. 3. 2023, 09:12 (CET)

@Jirka Fiala Jojo, samozřejmě. Opravím to (hned jak se dostanu k počítači). Tam má být blokově-diagonální matice s Jakobiho maticemi na diagonále. Navíc je tam potřeba říct (aby to nebylo triviální tvrzení; symetrickou matici lze ortogonálně diagonalizovat), že ortogonální matici lze nalézt v konečném počtu kroků. To je imho to podstatné. --78.80.27.140 19. 3. 2023, 09:30 (CET)

OK. Jestli můžu doporučit, tak právě proto, že všechny reálné symetrické / komplexní hermitovské jsou ortogonálně diagonalizovatelné, tak by bylo možná dobré uvést proč má smysl hledat matici v Jacobiho tvaru. Nejsem expert na Jacobiho matice, tak mi není jasné, kdy by byly vhodnější než diagonální. --Jirka Fiala (diskuse) 19. 3. 2023, 09:53 (CET)

Zdravím, díky za poznámku. Článek jsem kdysi tuším vytvářel já, takže moje chyba. Snad opraveno, pokusil jsem se i vysvětlit smysl. Tj, že je to vhodný mezistupeň mezi zcela obecnou a již diagonální maticí, do kterého lze dojít v konečném počtu kroků. --Matrix Computations (diskuse) 19. 3. 2023, 10:15 (CET)

OK, díky za doplnění a vysvětlení. Chápu správně, že konečnost algoritmu je vzhledem k přesné aritmetice? Někdo může chápat nalezení kořene polynomu jako jakýsi "elementární výpočet", byť tomu tak samozřejmě pd stupně 5 není.

Apropos chystám se stránku upravit, aby byla typograficky v souladu s ostatními o maticích (a českými zvyklostmi). Fakticky by zůstala víceméně beze změny (jen determinant lze nahradit snazší lineární nezávislostí). Doufám, že proti tomu nebudete mít vážné výhrady. Kdyžtak se to dá revertovat. :) --Jirka Fiala (diskuse) 19. 3. 2023, 10:45 (CET)

@Jirka Fiala Ano (napsal jsem tam tuším „elementární aritmetické operace“, což mi přišlo alespoň trochu srozumitelné; nechtěl jsem zabíhat do nějakých technikálií) a samozřejmě (problém je, že matice a další podobné věci se používají všude možně a kdekdo tak do značení promítá zvyklosti svého oboru; snažím se proto držet značení, které se používá přímo v komunitě „maticářů“, ale ani to není zcela jednotné ;)). --78.80.27.140 19. 3. 2023, 11:07 (CET)

Díky, naprosto souhlasím, že ve značení je naprostý zmatek - a nejen u nás. Ve vší úctě k Vašemu textu (neb maticové výpočty nejsou můj obor) jsem se značení pokusil trochu upravit tak, aby to alespoň ve wikipedii bylo jednotné, a jak doporučuje norma a slovník školské matematiky. Snad jsem nenapáchal moc škod.

Apropos, u algoritmů bývá vhodné dát horní mez na složitost výpočtu. Chvíli jsem hledal, jak je na tom Lanczosův algoritmus, ale nic jsem nenašel a na analýzu si netroufnu. Kdybyste věděl, byla by fajn tu "konečnost" nahradit konkrétní mezí. --Jirka Fiala (diskuse) 19. 3. 2023, 21:46 (CET)

Díky moc za pomoc s úpravou článků. Kdyby něco, opravím to. K tomu Lanczosovu algoritmu někde něco stoprocentně bude, zkusím to časem dohledat, nebo promyslet. Matrix Computations (diskuse) 19. 3. 2023, 22:57 (CET)