Benfordův zákon

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Benfordův zákon, někdy též Newcombův-Benfordův zákon, je matematický zákon, který říká, že v mnoha souborech přirozených dat (ale ne ve všech) začínají čísla mnohem častěji číslicí 1 než jinou číslicí. Zhruba 30 % čísel začíná jedničkou. Čím vyšší počáteční číslice je, tím méně pravděpodobně se vyskytuje na začátku čísel.

Ve skupině čísel reprezentujících reálné hodnoty čehokoli je asi 30% pravděpodobnost, že první číslovkou bude jednička. Dále pak 17,6 % čísel bude začínat dvojkou, 12,5 % trojkou a jen 4,57 % devítkou. To znamená, že z 1000 čísel v průměru 300 bude začínat jedničkou, 176 dvojkou a pouze 46 bude mít na prvním místě devítku. Nejde o žádný matematický trik, ale o skutečný přírodní zákon, jímž se řídí soubory jakýchkoli přirozených dat bez ohledu na jejich podstatu nebo fyzikální jednotky. Jedinou podmínkou je, že data musí být v minimálním rozsahu tří logaritmických intervalů (tj. v minimálním rozsahu tří desítkových řádů).[1]

Tuto skutečnost poprvé objevil a zveřejnil kanadsko-americký matematik a astronom Simon Newcombe v článku „Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers“ publikovaném v American Journal of Mathematics (1881, č. 4, s. 39–40).[2] Upozornil na skutečnost, že logaritmické tabulky v technické knihovně mají mnohem více ohmatané první stránky, tzn. stránky s čísly počínajícími jedničkou, než stránky na konci, tzn. stránky s čísly začínajícími číslicí 9. Usoudil, že uživatelé logaritmických tabulek (vědci a studenti přírodovědných a společenských oborů) se při své práci častěji setkávají s čísly začínajícími číslicí 1 nebo 2 než s čísly začínajícími číslicí 8 nebo 9. Na první pohled se zdá přirozené předpokládat, že první platná číslice čísel, s nimiž se lidé setkávají, bude se stejnou pravděpodobností jednička, dvojka i devítka. S touto intuitivní představou je však Newcombovo tvrzení v rozporu.[3]

Newcombe neuvedl žádnou analýzu konkrétních souborů dat, pokusil se však o určité matematické zdůvodnění výsledku. Článek upadl v zapomnění – autorovu tvrzení nebyla věnována pozornost několik desetiletí.[4]

Tento z určitého hlediska přírodní jev znovu objevil v roce 1938 fyzik Frank Benford.[4] Svá zjištění publikoval v článku „The Law of Anomalous Numbers“ v Proceedinggs Of The American Philosophical Society (1938, vol. 78, no. 4, s. 551–572).[5] Na rozdíl od Newcomba založil svá tvrzení na empirických pozorováních. Několik let shromažďoval číselné údaje z různých zdrojů a oborů (např. plochy povodí 335 řek, měrné skupenské teplo 1389 chemických sloučenin, čísla vyskytující se na titulní stránce novin a další). Dohromady zpracoval více než 20 000 číselných údajů ve 20 různých souborech dat a ukázal, že první číslice se opravdu nevyskytují všechny stejně často. I proto se pro zmíněnou zákonitost užívá pojmenování Benfordův zákon.[6][4]

Simon Newcomb i Frank Benford dospěli každý jinou cestou k vyjádření téhož.[6]

Matematický zápis[editovat | editovat zdroj]

Počáteční číslice n () čísla v soustavě o základu b () se objevuje s pravděpodobností . V desítkové soustavě () dodržují počáteční číslice podle Benfordova zákona následující rozložení:

1 30,1 %
2 17,6 %
3 12,5 %
4 9,7 %
5 7,9 %
6 6,7 %
7 5,8 %
8 5,1 %
9 4,6 %

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Benfordův zákon lze aplikovat při jednoduchém testování regulérnosti voleb, odhalování účetních podvodů (vč. národních účtů), při analýze zaokrouhlovacích chyb při rozsáhlých numerických výpočtech, jako doplňkový test k dalším metodám zkoumání kvality makroekonomických dat aj.

Zajímavosti[editovat | editovat zdroj]

  • Zřejmě první významnější zmínkou o Benfordově zákoně v češtině je krátký článek Pavla Kantorka (profesora fyziky a karikaturisty) z roku 1998 v časopise Vesmír.[4][1]
  • Benfordův zákon byl několik desetiletí po svém objevu považován za pouhou zvláštnost, nikoli za matematický fakt.[7]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b KANTOREK, Pavel. Benfordův zákon. Vesmír. 1998, roč. 77, č. 10, s. 583. Dostupné také z: http://www.vesmir.cz/clanky/clanek/id/1890
  2. NEWCOMBE, Simon. Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers. American Journal of Mathematics 1881, č. 4, s. 39–40. Dostupné také z: https://archive.org/details/jstor-2369148/page/n1
  3. DVOŘÁK, Jiří. Benfordovo rozdělení. Praha, 2008, s. 6. Bakalářská práce. Ved. práce doc. Mgr. Zdeněk Hlávka, Ph.D. MFF UK, KPMS. Přístup také z: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/47310/
  4. a b c d SEIBERT, Jaroslav a ZAHRÁDKA, Jaromír. O čem pojednává Benfordův zákon. Matematika – fyzika – informatika. 2016, vol. 25, iss. 2, s. 91. ISSN 1210-1761. Přístupné také z: https://dk.upce.cz/handle/10195/67473
  5. BENFORD, Frank. The Law of Anomalous Numbers. Proceedinggs Of The American Philosophical Society. 1938, vol. 78, no. 4, s. 551–572. Dostupné také z: https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.529837/page/n599?q=%22The+Law+of+Anomalous+Numbers%22
  6. a b DVOŘÁK, Jiří. Benfordovo rozdělení. Praha, 2008, s. 8. Bakalářská práce. Ved. práce doc. Mgr. Zdeněk Hlávka, Ph.D. MFF UK, KPMS. Přístup také z: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/47310/
  7. [HOUSER, Pavel]. Taje Benfordova zákona. In: Sciencemag.cz [online] 6. 12. 2016 [cit. 28. 7. 2019]. Dostupné z: https://sciencemag.cz/taje-benfordova-zakona/

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BELLOS, Alex. Alex za zrcadlem: jak se čísla odrážejí v životě a život v číslech. Překlad Ondrej Majer. Praha: Dokořán, 2016. 286 s. ISBN 978-80-7363-774-3.
  • BERGER, A.; HILL, T. P. and E. ROGERS. Benford Online Bibliography. May 1, 2015 [cit. 27. 7. 2019]. Dostupné z: http://www.benfordonline.net/
  • DVOŘÁK, Jiří. Benfordovo rozdělení. Praha, 2008. 52 s. Bakalářská práce. Ved. práce doc. Mgr. Zdeněk Hlávka, Ph.D., oponent RNDr. Michal Pešta, Ph.D. Matematicko-fyzikální fakulta UK, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. Přístup také z: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/47310/
  • HANZAL, Petr a FALTOVÁ LEITMANOVÁ, Ivana. Ověření platnosti Benfordova modelu v oboru účetních dat podnikatelských subjektů v České republice. Acta Universitatis Bohemiae Mendionales. 2010, č. 4, s. 39–45. ISSN 1212-3285.
  • HANZAL, Petr; CHLÁDEK, Petr a BISKUP, Roman. ARS-Auditing Revision Systém v nadnárodních ERP systémech. Systémová integrace. 2012, č. 4, s. 70–79.
  • [HOUSER, Pavel]. Taje Benfordova zákona. In: Sciencemag.cz [online] 6. 12. 2016 [cit. 28. 7. 2019]. Dostupné z: https://sciencemag.cz/taje-benfordova-zakona/
  • KANTOREK, Pavel. Benfordův zákon. Vesmír. 1998, roč. 77, č. 10, s. 583. Dostupné také z: http://www.vesmir.cz/clanky/clanek/id/1890
  • PLAČEK, Michal. Benfordův zákon: fakta a mýty. In: Bulletin komory certifikovaných účetních. 2013, č. 1. Praha: Komora certifikovaných účetních, 2013, s. 43–46. ISSN 2336-3576.
  • PLAČEK, Michal. Benfordův zákon, fakta a mýty. In: Nové trendy 2012. Sborník ze 7. mezinárodní vědecké konference. Znojmo: Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo, 2012, s. 193–199. ISBN 978-80-87314-29-6.
  • ROSS, Kenneth A. Benford’s law, a growth industry. The American Mathematical Monthly. 2011, vol. 118, no. 8, s. 571–583. ISSN 0002-9890.
  • SEIBERT, Jaroslav a ZAHRÁDKA, Jaromír. O čem pojednává Benfordův zákon. Matematika – fyzika – informatika. 2016, vol. 25, iss. 2, s. 89–98. ISSN 1210-1761. Přístupné z: https://dk.upce.cz/handle/10195/67473
  • SEIBERT, Jaroslav a ZAHRÁDKA, Jaromír. Zákon první číslice a jeho aplikace. Scientific papers of the University of Pardubice. Series D, Faculty of Economics and Administration = Sborník vědeckých prací Univerzity Pardubice. Serie D, Fakulta ekonomicko-správní. 2014, roč. 30, č. 1, s. 75–83. ISSN 1211-555X. Přístupné z: https://dk.upce.cz/handle/10195/54637

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]