Bellova báze

Bellova báze je speciální báze Hilbertova prostoru coby stavového prostoru odpovídajícího dvouqubitovým kvantovým systémům. Bellova báze nachází uplatnění v různých kvantových algoritmech.

Vektory Bellovy báze

Stavový prostor jednoho qubitu je $\scriptstyle {\mathcal {H}}=\mathrm {span} \{|0\rangle ,|1\rangle \}$, kde span značí lineární obal vektorů. Stavový prostor dvou qubitů pak je tenzorový součin dvou jednoqubitových prostorů, tj.

${\mathcal {H}}_{2}=\mathrm {span} \{|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B},|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B},|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B},|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\},$

kde index A, resp. B, označuje první, resp. druhý, qubit. Ve složených závorkách výše je tak vyobrazena jedna z možných bází dvouqubitového stavového prostoru. Lze však vybrat bázi tvořenou pouze maximálně provázanými stavy qubitových párů ve tvaru:

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}),$

$|\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}),$

$|\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}),$

$|\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).$

Tato báze se nazývá Bellova báze.

Vlastnosti

Významnou vlastností stavů Bellovy báze je to, že pouze pomocí lokálních unitárních operací provedených na jednom ze dvou qubitů lze přejít od jednoho Bellova stavu na druhý. Pro konkrétnost berme vždy první qubit stavu za daný a snažme se úpravou druhého qubitu přecházet mezi jednotlivými stavy. Vyjádřeno matematicky, nechť $\scriptstyle |x\rangle \in {\mathcal {H}}$ je výchozí stav druhého qubitu, $\scriptstyle |y\rangle \in {\mathcal {H}}$ jeho stav cílový a $\scriptstyle U_{|x\rangle \to |y\rangle }$ nechť je unitární operace převádějící stav $\scriptstyle |x\rangle$ na stav $\scriptstyle |y\rangle$. Máme tedy

$U_{|x\rangle \to |y\rangle }|x\rangle =|y\rangle .$

Z unitarity je zřejmé, že

$U_{|y\rangle \to |x\rangle }=U_{|x\rangle \to |y\rangle }^{\dagger }.$

Podosazováním jednotlivých stavů nakonec dospějeme k tabulce níže, kde v prvním sloupci je vždy uveden stav výchozí, v prvním řádku stav výsledný a v jejich průniku je pak vyznačena převádějící operace. I značí identickou operaci (zde tedy identickou matici 2x2) a $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$ jsou Pauliho matice.

Převodní vztahy mezi vektory Bellovy báze

	$|\Phi ^{+}\rangle$	$|\Phi ^{-}\rangle$	$|\Psi ^{+}\rangle$	$|\Psi ^{-}\rangle$
$|\Phi ^{+}\rangle$	$I$	$\sigma _{z}$	$\sigma _{x}$	$-i\sigma _{y}$
$|\Phi ^{-}\rangle$	$\sigma _{z}$	$I$	$-i\sigma _{y}$	$\sigma _{x}$
$|\Psi ^{+}\rangle$	$\sigma _{x}$	$i\sigma _{y}$	$I$	$-\sigma _{z}$
$|\Psi ^{-}\rangle$	$i\sigma _{y}$	$\sigma _{x}$	$-\sigma _{z}$	$I$