Seznam základních limit

Toto je seznam limit pro základní funkce. Všiměte si, že a a b jsou konstanty vzhledem k x.

Limity základních funkcí

${\text{Pokud }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}\in \mathbb {R} {\text{ a }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}\in \mathbb {R} {\text{ pak:}}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}},\qquad {\text{ když }}L_{2}\neq 0$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n},\qquad {\text{ pokud je }}n{\text{ z množiny Z}}^{+}$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n},\qquad {\text{ pokud }}n{\text{ je kladné liché, nebo pokud je sudé a zároveň }}L_{1}>0$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},\qquad {\text{ pokud je }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ nebo }}\pm \infty$ (L'Hospitalovo pravidlo)

Limity hlavních funkcí

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$

$\lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

Speciální limity

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

$\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$

$\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0$

Základní funkce

$\lim _{x\to c}a=a$

$\lim _{x\to c}x=c$

$\lim _{x\to c}ax+b=ac+b$

$\lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad {\mbox{ Pokud je }}r{\mbox{ kladné celé číslo }}$

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{pokud je }}r{\text{ liché}}\\+\infty ,&{\text{pokud je }}r{\text{ sudé}}\end{cases}}$

Logaritmické a exponenciální funkce

$\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$

nebo

$\lim _{y\to 0}{\frac {\ln(y+1)}{y}}=1$

${\mbox{Když }}a>1:\,$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

${\mbox{Když }}a<1:\,$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=\infty$

Trigonometrické funkce

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

Pokud $x$ je vyjádřeno v radiánech:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty \qquad {\text{Pro každé celé }}n$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$

Poblíž nekonečna

$\lim _{x\to \infty }N/x=0{\text{ pro všechna reálná }}N$

$\lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{nedefinováno}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&0<N<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\text{ pro každé }}N>1$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{nedefinováno v R}},&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\text{ pro každé }}N>0$

$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$