Werckmeisterovo ladění

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Werckmeister je nerovnoměrně temperované ladění, které na konci 17. století vytvořil německý hudební teoretik Andreas Werckmeister. Toto ladění bylo ve své době občas používáno jako náhrada tehdy převládajícího středotónového ladění. Na rozdíl od něj je ve Werckmeister ladění kvintový kruh uzavřen, nevyskytují se zde proto žádné vlčí intervaly a tím je umožněna hra i ve vzdálených tóninách od základního tónu. Na rozdíl od středotónového ladění, které temperuje syntonické koma, Werckmeister temperuje pythagorejské koma (stejně jako dnes používané rovnoměrně temperované ladění).

Andreas Werckmeister sestavil celkem čtyři typy ladění, která zveřejnil ve svém díle „Musikalische Temperatur“ (1691). Zde popsal i čisté ladění (pod číslem I) a středotónové ladění (pod číslem II), svá čtyři ladění označil čísly III – VI. V literatuře se používá buď původní označení „Werckmeister III – VI“, nebo „Werckmeister I – IV“. Werckmeister III (původní označení) je nejznámější a jediné, které bylo často používáno. Když se nějaké ladění označuje jako „Werckmeister“ (bez udání čísla), zpravidla se tím myslí právě toto ladění.

Werckmeister III[editovat | editovat zdroj]

V tomto ladění se pythagorejské koma rozdělí mezi kvinty C – G, G – D, D – A a H – F#. Všechny ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy
C – G \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090 F# – C# {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
G – D \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090 C# – G#(Ab) {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
D – A \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090 G#(Ab) – Eb {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
A – E {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 Eb – Bb {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
E – H {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 Bb – F {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
H – F# \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090 F – C {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955


Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 12.

Označení tónu Výpočet relativní frekvence Relativní frekvence Centy Interval
Eb \frac{32}{27} 1,185185185 294,135 malá tercie
Bb \frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} = \frac{16}{9} 1,777777778 996,090 malá septima
F \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3} 1,333333333 498,045 kvarta
C \frac{1}{1} = 1 1 0 prima
G \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} = \frac{8\cdot\sqrt[4]{8}}{9} 1,49492696 696,090 kvinta
D \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{2}{4} = \frac{64\sqrt{2}}{81} 1,117403309 192,180 velká sekunda
A \frac{27}{16} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{3}{4} = \frac{1024 \cdot \sqrt[4]{2}}{729} 1,670436332 888,270 velká sexta
E \frac{512 \cdot \sqrt[4]{2}}{243} \cdot \frac{1}{2} = \frac{256 \cdot \sqrt[4]{2}}{243} 1,252827249 390,225 velká tercie
H \frac{128 \cdot \sqrt[4]{2}}{81} 1,879240873 1092,180 velká septima
F# \frac{64\cdot\sqrt[4]{2}}{27}\cdot\frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} = \frac{1024}{729} 1,404663923 588,270 zvětšená kvarta
C# \frac{512}{243}\cdot\frac{1}{2} = \frac{256}{243} 1,053497942 90,225 zvětšená prima
G# \frac{128}{81} 1,580246914 792,180 zvětšená kvinta

V tomto ladění se nevyskytuje žádná čistá velká tercie, nejbližší jsou jí tercie C – E a F – A (390,225 centů). Tercie F# – Bb, C# – F a G# – C jsou pythagorejské velké tercie s poměrem frekvencí 81:64 (407,820 centů).

Werckmeister III - modifikovaná forma[editovat | editovat zdroj]

Toto ladění není obsahem výše uvedeného teoretického spisku Andrease Werckmeistera, ale spíše důsledkem toho, jak bylo toto ladění aplikováno ve varhanářské praxi. Jak bylo zmíněno výše, prakticky nejširšího uplatnění nalezlo právě Werckmaisterovo ladění číslo III, avšak nikoli jeho původní teoretický postup, ale jeho modifikovaná forma. Prakticky bylo totiž dosti obtížné dosáhnout naladění kvinty snížené o čtvrtinu pythagorejského komma (v době baroka – bez tabulek, logaritmického pravítka či počítače).

Varhanáři ovšem v té době byli již po několik generací zvyklí ladit středotónově a proto na místě Werckmeisterových kvint (užších o 1/4 pythagorejského komma) užili - možná nevědomky - kvint středotónových (užších o 1/4 syntonického komma). Velkého odchýlení se přitom nedopustili; uvědomíme-li si, že pythagorejské komma obnáší přibližně 23,5 centu, zatímco syntonické komma pouze 21,5 centu, pak rozdíl mezi oběma komaty činí pouhé 2 centy, což rozděleno na čtvrtiny obnáší půl centu – čili odchylka lidským uchem prakticky nepostižitelná.

Tato zřejmě nevědomá záměna pythagorejského kommatu za syntonické měla ovšem významný důsledek pro ladičskou praxi. Není těžké si představit, že přivést teoretické ladění Werckmeisterovo do praxe bylo prakticky velmi obtížné: znamenalo by to ladit v kvintovém kruhu a přitom střídat čisté kvinty s Werckmeisterovými a po dvanácti tónech se „trefit“ do výchozího tónu. Naproti tomu při použití středotónových kvint na místě Werckmeisterových umožnilo použít již nacvičené postupy ladění středotónového. Přitom se postupovalo přibližně následovně:

Podobně jako při středotónovém ladění se naladila nejdříve čistě velká tercie F-A. Tato tercie se potom obvyklým způsobem rozdělila na čtyři středotónové kvinty F-C, C-G, G-D a D-A. A nyní - pozor - se středotónová kvinta F-C zpětně přeladila na čistou kvintu F-C, jak to požadoval Werckmeister. Další spodní kvinty B-F, D#-B, C#-D# a F#-C# se již jednoduše ladily čistě. Rovněž tak se čistě naladily horní kvinty A-E a E-H. Po tomto postupu, byl-li proveden správně, na konci zbyla kvinta H-F#, která byla ještě o něco (teoreticky o rozdíl pythagorejského a syntonického kommatu, tedy o cca 2 centy) užší než původní Werckmeisterova kvinta, tedy byla ještě o něco více rozladěná na rozdíl od čisté (cca o 6 centů), ale v žádném případě se nejednalo o vlčí interval.

Werckmeister IV[editovat | editovat zdroj]

V tomto ladění se kvinty C – G, D – A, E – H, F# – C# a Bb – F sníží o třetinu pythagorejského komatu, kvinty G# – Eb a Eb – Bb se naopak zvýší o třetinu pythagorejského komatu. Zbylé kvinty zůstávají čisté.

Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy
C – G \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zmenšená o třetinu
pythagorejského komatu
694,135 F# – C# \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zmenšená o třetinu
pythagorejského komatu
694,135
G – D {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 C# – G#(Ab) {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
D – A \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zmenšená o třetinu
pythagorejského komatu
694,135 G#(Ab) – Eb \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zvětšená o třetinu
pythagorejského komatu
709,775
A – E {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 Eb – Bb \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zvětšená o třetinu
pythagorejského komatu
709,775
E – H \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zmenšená o třetinu
pythagorejského komatu
694,135 Bb – F \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} kvinta zmenšená o třetinu
pythagorejského komatu
694,135
H – F# {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 F – C {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955


Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 12.

Označení tónu Výpočet relativní frekvence Relativní frekvence Centy Interval
Eb \frac{18}{12\cdot\sqrt[3]2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} = \frac{32}{27} 1,185185185 294,135 malá tercie
Bb \frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} = \frac{9}{4\cdot\sqrt[3]2} 1,785826183 1003,910 malá septima
F \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3} 1,333333333 498,045 kvarta
C \frac{1}{1} = 1 1 0 prima
G \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} = \frac{32\cdot\sqrt[3]2}{27} 1,493239763 694,135 kvinta
D \frac{16\cdot\sqrt[3]2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8\cdot\sqrt[3]2}{9} 1,119929822 196,090 velká sekunda
A \frac{4\cdot\sqrt[3]2}{3} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} = \frac{256\cdot\sqrt[3]4}{243} 1,672323742 890,225 velká sexta
E \frac{128\cdot\sqrt[3]4}{81} \cdot \frac{1}{2} = \frac{64\cdot\sqrt[3]4}{81} 1,254242806 392,180 velká tercie
H \frac{32\cdot\sqrt[3]4}{27} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} = \frac{4096}{2187} 1,872885231 1086,315 velká septima
F# \frac{2048}{729} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1024}{729} 1,404663923 588,270 zvětšená kvarta
C# \frac{512}{234} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{3} = \frac{16384\cdot\sqrt[3]2}{19683} 1,048750012 82,405 zvětšená prima
G# \frac{8192\cdot\sqrt[3]2}{6561} 1,573125018 784,360 zvětšená kvinta

V tomto ladění se nevyskytuje žádná čistá velká tercie, nejbližší jsou jí tercie C – E, G – H, D – A, E – G#, Bb – D a F – A (392,18 centů). V tomto ladění se sice objevuje jen jedna velká pythagorejská tercie H – Eb (407,82 centů), ale také ještě disonantnější velké tercie F# – Bb, C# – F a Ab – C (415,64 centů).

Werckmeister V[editovat | editovat zdroj]

V tomto ladění se kvinty D – A, A – E, F# – C#, C# – G# a F – C sníží o čtvrtinu pythagorejského komatu, kvinta Ab – Eb se naopak zvýší o čtvrtinu pythagorejského komatu. Ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy
C – G {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 F# – C# \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090
G – D {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 C# – G#(Ab) \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090
D – A \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090 G#(Ab) – Eb \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zvětšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
707,820
A – E \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090 Eb – Bb {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
E – H {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 Bb – F {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
H – F# {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 F – C \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} kvinta zmenšená o čtvrtinu
pythagorejského komatu
696,090


Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 12.

Označení tónu Výpočet relativní frekvence Relativní frekvence Centy Interval
Eb \frac{2}{\sqrt[4]8} 1,189207115 300,000 malá tercie
Bb \frac{3}{2\cdot\sqrt[4]8}\cdot\frac{2}{1} = \frac{3}{\sqrt[4]8} 1,783810673 1001,955 malá septima
F \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{1}\cdot\left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} = \frac{9}{4\cdot\sqrt[4]8} 1,337858004 503,910 kvarta
C \frac{1}{1} = 1 1 0 prima
G \frac{3}{2} 1,5 701,955 kvinta
D \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8} 1,125 203,910 velká sekunda
A \frac{27}{16} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} = \sqrt[4]8 1,681792831 900,000 velká sexta
E \frac{81}{32}\cdot\frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{2}{4} = \frac{8\cdot\sqrt2}{9} 1,257078722 396,090 velká tercie
H \frac{4\cdot\sqrt2}{3} 1,885618083 1098,045 velká septima
F# 2\cdot\sqrt2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt2 1,414213562 600,000 zvětšená kvarta
C# \frac{3\cdot\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} = \frac{8\cdot\sqrt[4]2}{9} 1,057072991 96,090 zvětšená prima
G# \frac{4\cdot\sqrt[4]2}{3} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{4} = \frac{128}{81} 1,580246914 792,180 zvětšená kvinta

V tomto ladění se nevyskytuje žádná čistá velká tercie, nejbližší jsou jí tercie C – E, G – H, D – F#, A – C#, E – G# a F – A (396,09 centů), tercie H – Eb, F# – Bb, Eb – G a Bb – D mají 401,955 centů, tercie C# – F a Ab – C jsou pythagorejské velké tercie (407,820 centů).

Werckmeister VI[editovat | editovat zdroj]

V tomto ladění se kvinty C – G, H – F# a Bb – F sníží o 1/7 pythagorejského komatu, kvinta G – D se sníží o 4/7 pythagorejského komatu a kvinta F# – C# se sníží o 2/7 pythagorejského komatu. Kvinty D – A a Ab – Eb se zvýší o 1/7 pythagorejského komatu, ostatní kvinty zůstávají čisté.

Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy Kvinta Poměr frekvencí Popis Centy
C – G \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} kvinta zmenšená o
1/7 pythagorejského komatu
698,604 F# – C# \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{2}{7} kvinta zmenšená o
2/7 pythagorejského komatu
695,252
G – D \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{4}{7} kvinta zmenšená o
4/7 pythagorejského komatu
688,550 C# – G#(Ab) {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
D – A \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} kvinta zvětšená o
1/7 pythagorejského komatu
705,306 G#(Ab) – Eb \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} kvinta zvětšená o
1/7 pythagorejského komatu
705,306
A – E {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 Eb – Bb {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955
E – H {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955 Bb – F \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} kvinta zmenšená o
1/7 pythagorejského komatu
698,604
H – F# \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} kvinta zmenšená o
1/7 pythagorejského komatu
698,604 F – C {3}:{2}\; čistá kvinta 701,955


Od tohoto kvintového kruhu lze odvodit všechny tóny dvanáctitónové stupnice. Mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 12.

Označení tónu Výpočet relativní frekvence Relativní frekvence Centy Interval
Eb \frac{8\cdot\sqrt[7]{243}}{9\cdot\sqrt[7]{32}} 1,187481762 297,486 malá tercie
Bb \frac{8}{9} \cdot \frac{2}{1} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} = \frac{4\cdot\sqrt[7]{243}}{3\cdot\sqrt[7]{32}} 1,781222643 999,441 malá septima
F \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3} 1,333333333 498,045 kvarta
C \frac{1}{1} = 1 1 0 prima
G \frac{3}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} = \frac{2\cdot\sqrt[7]{32}}{\sqrt[7]{243}} 1,497099016 698,604 kvinta
D \frac{3\cdot\sqrt[7]{32}}{\sqrt[7]{243}} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{4}{7} = \frac{1024\cdot\sqrt[7]{16}}{729\cdot\sqrt[7]{81}} 1,114163307 187,153 velká sekunda
A \frac{512\cdot\sqrt[7]{16}}{243\cdot\sqrt[7]{81}} \cdot \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} = \frac{128\cdot\sqrt[7]3}{81\cdot\sqrt[7]2} 1,674483394 892,459 velká sexta
E \frac{64\cdot\sqrt[7]3}{27\cdot\sqrt[7]2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{32\cdot\sqrt[7]3}{27\cdot\sqrt[7]2} 1,255862545 394,414 velká tercie
H \frac{16\cdot\sqrt[7]3}{9\cdot\sqrt[7]2} 1,883793818 1096,369 velká septima
F# \frac{8\cdot\sqrt[7]3}{3\cdot\sqrt[7]2} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{1}{7} = \frac{16\cdot\sqrt[7]{16}}{9\cdot\sqrt[7]{81}} 1,410112936 594,973 zvětšená kvarta
C# \frac{8\cdot\sqrt[7]{16}}{3\cdot\sqrt[7]{81}} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{3^{12}}{2^{19}}\right)^\frac{2}{7} = \frac{256}{243} 1,053497942 90,225 zvětšená prima
G# \frac{128}{81} 1,580246914 792,180 zvětšená kvinta

Nejblíže čistým velkým terciím jsou v tomto ladění tercie C – E a F – A (394,414 centů), nejširší jsou pythagorejské velké tercie C# – F, Ab – C a D – F# (407,820 centů). Hodnoty ostatních velkých tercií se pohybují mezi těmito dvěma hodnotami.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. WERCKMEISTER, Andreas. Orgelprobe oder kurtze Beschreibung wie und welcher Gestalt man die Orgelwerke von dem Orgelmachern annehmen, probieren, untersuchen... solle, benebst einem Kurtzen... Unterricht wie durch Anweiss und Huelfe des Monochordi ein Clavier wohl zu temperieren und zu stimmen sei. Franckfurt und Leipzig : [s.n.], 1681.  
  2. WERCKMEISTER, Andreass. Musicalische Temperatur. Franckfurt und Leipzig : [s.n.], 1691.  
  3. WERCKMEISTER, Andreas. Erweiterte und verbesserte Orgel-Probe. Quedlinburg : [s.n.], 1698.  
  4. WERCKMEISTER, Andreas. Erweiterte und verbesserte Orgel-Probe (Faksimile-Neudruck). Kassel : [s.n.], 1973.  
  5. WERCKMEISTER, Andreas. Erweiterte und verbesserte Orgel-Probe (Neuausgabe). Kassel : [s.n.], 1927.  
  6. WERCKMEISTER, Andreas. Organum Gruningense redivivum. Quedlinburg und Aschersleben : [s.n.], 1704.  
  7. WERCKMEISTER, Andreas. Organum Gruningense redivivum (Neuausgabe). Mainz : [s.n.], 1932.