Reziduum

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vyjádříme-li meromorfní funkci f(z) v okolí jejího izolovaného singulárního bodu z_0 Laurentovou řadou (pro z \neq z_0), pak číslo a_{-1} se nazývá reziduum funkce f(z) v bodě z_0.

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

a_{-1} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z

Reziduová věta[editovat | editovat zdroj]

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku c, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku \scriptstyle \mathbf{G}. Uvažujme funkci \scriptstyle f(z), která je v \scriptstyle \mathbf{G} holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů z_1, z_2, ..., z_n a s výjimkou těchto bodů spojitá v \scriptstyle \mathbf{G} \cup c. Pak integrál

\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z

je roven součtu reziduí funkce f(z) v bodech z_1, z_2, ..., z_n, tzn.

\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k},

kde \scriptstyle \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k} označuje reziduum funkce f(z) v bodě z_k.

Výpočet reziduí[editovat | editovat zdroj]

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c}=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),

nebo přímo použitím reziduové věty

\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} =  
{1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

 \operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |zc| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články[editovat | editovat zdroj]