Reziduum

Vyjádříme-li meromorfní funkci $f(z)$ v okolí jejího izolovaného singulárního bodu $z_0$ Laurentovou řadou (pro $z \neq z_0$), pak číslo $a_{-1}$ se nazývá reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z_0$.

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

$a_{-1} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z$

Reziduová věta

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku $c$, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku $\scriptstyle \mathbf{G}$. Uvažujme funkci $\scriptstyle f(z)$, která je v $\scriptstyle \mathbf{G}$ holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů $z_1, z_2, ..., z_n$ a s výjimkou těchto bodů spojitá v $\scriptstyle \mathbf{G} \cup c$. Pak integrál

$\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z$

je roven součtu reziduí funkce $f(z)$ v bodech $z_1, z_2, ..., z_n$, tzn.

$\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}$,

kde $\scriptstyle \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}$ označuje reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z_k$.

Výpočet reziduí

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c}=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz$

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články

• Laurentova řada