Materiálová derivace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Uvažujme určitou fyzikální veličinu Φ spjatou s hmotnou částicí kontinua, která je obecně proměnná v čase. Podle uvažovaného popisu (lagrangeovského i eulerovského), lze definovat následující derivace[1][1]:

Lokální derivace[1][editovat | editovat zdroj]

\frac{\delta\Phi}{\delta t} = \frac{\partial \Phi(y,t)}{\partial t},

kde y značí prostorovou souřadnici. Tato derivace charakterizuje změnu veličiny Φ v pevném bodě prostoru.

Materiálová derivace[1][editovat | editovat zdroj]

\frac{D\Phi}{Dt} = \frac{\partial \Phi (x,t)}{\delta t}

tato derivace značí změnu Φ dané hmotné částice. V této rovnosti x značí materiálovou souřadnici a je pevné (x=(x1,x2,x3)).

Mezi oběma derivacemi existuje vztah, který získáme užitím transformačního vztahu popisujícího pohyb kontinua a vyjadřujícího časovou závislost mezi objema souřadnicovými systémy[1]: yi=yi(x1,x2,x3,t) (uvažujme pouze kartézský souřadnicový systém). Platí[1]

\frac{D\Phi}{Dt} = \frac{\partial \Phi (y,t)}{\partial t}+\frac{\partial \Phi}{\partial y^i}\frac{\partial y^i}{\partial t}=\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\frac{\partial \Phi}{\partial y^i}v^i,

kde jsme derivaci: \partial y^i/\partial t označili, jak je to běžné, jako rychlost dané částice kontinua.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b c d e f Křen, Rosenberg(2002). Mechanika Kontinua.Západočeská univerzita v Plzni, 62–63.