Euklidova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Euklidova věta je označení pro geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníka pojmenovaná po svém objeviteli, řeckém matematikovi Euklidovi.

Euklidova věta.

[editovat] Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.

$v_c^2 = c_a\, c_b$

Důkaz: Z Pythagorovy věty plyne:

$v_c^2 = a^2 - c_a^2$

$v_c^2 = b^2 - c_b^2$

$v_c^2 = a^2 - (c - c_b)^2$

$v_c^2 = b^2 - c_b^2$

Rovnice sečteme:

$2v_c^2 = a^2 + b^2 - (c - c_b)^2 - c_b^2$

$2v_c^2 = c^2 - (c - c_b)^2 - c_b^2$

$2v_c^2 = c^2 - (c^2 - 2cc_b + c_b^2) - c_b^2$

$2v_c^2 = c^2 - c^2 + 2cc_b - c_b^2 - c_b^2$

$2v_c^2 = 2cc_b - 2c_b^2$

$v_c^2 = (c - c_b)c_b$

$v_c^2 = c_a c_b$

[editovat] Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

$a^2 = c\, c_a$

$b^2 = c\, c_b$

Důkaz: Předpokládáme, že platí euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z pythagorovy věty plyne:

$a^2 = v_c^2 + c_b^2$

$a^2 = c_a c_b + c_a^2$

$\ a^2 = (c_b + c_a) c_a$

$\ a^2 = c c_a$

Důkaz pro druhou odvěsnu je analogický.

Příklad: pravoúhlý trojúhelník a= 5cm c= 8cm Vypočítejte výšku

v² = Ca . Cb

a² = c. Ca

          25 = 8 . Ca
          Ca = 25 : 8
          Ca = 3, 125

Cb = c - c_a Cb = 4,875

v² = Ca . Cb v² = 3,125 . 4, 875

           v² =  $15,23$ 
           v = 3,9

Výška tohoto trojúhelníku je 3,9cm.

[editovat] Externí odkazy

Euklidova věta

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Euklidova_v%C4%9Bta“

Kategorie: Geometrie | Matematické věty a důkazy | Trojúhelník

Skrytá kategorie: Matematické pahýly

Zobrazení

Osobní nástroje

Přihlášení / vytvoření účtu

Hledání

Nástroje