Eukleidova věta
Eukleidova věta je označení pro dvě geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníku, pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematikovi Eukleidovi.
Obsah |
Eukleidova věta o výšce [editovat]
Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.
Důkaz [editovat]
Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB, tvrzení vyplývá z podobnosti trojúhelníků APC a CPB:
Větu lze rovněž dokázat pomocí Pythagorovy věty, z ní plyne:
Rovnice sečteme:
upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:
rozepíšeme a roznásobíme dvojmoc přepony, odečteme dvojmoci jejích úseků:
a vydělíme dvěma:
Eukleidova věta o odvěsně [editovat]
Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
Důkaz [editovat]
Předpokládáme, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z Pythagorovy věty plyne:
Tvrzení lze elementárně dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků. Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.
Příklad [editovat]
Mějme pravoúhlý trojúhelník
. Vypočítejte výšku
.
Platí:
Po dosazení do druhého vzorce:
Dopočet
:
Po dosazení do prvního vzorce:
Výška tohoto trojúhelníku je 3,9cm.

























