Eukleidova věta

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách.

Eukleidova věta je označení pro dvě geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníku, pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematikovi Eukleidovi.

Eukleidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.

$v_c^2 = c_a \cdot c_b$

Důkaz

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB, tvrzení vyplývá z podobnosti trojúhelníků APC a CPB:

$v_c : c_a = c_b : v_c.$

Větu lze rovněž dokázat pomocí Pythagorovy věty, z ní plyne:

$v_c^2 = a^2 - c_a^2$

$v_c^2 = b^2 - c_b^2$

Rovnice sečteme:

$2v_c^2 = a^2 + b^2 - c_a^2 - c_b^2$

upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

$2v_c^2 = c^2 - c_a^2 - c_b^2$

rozepíšeme a roznásobíme dvojmoc přepony, odečteme dvojmoci jejích úseků:

$2v_c^2 = (c_a + c_b)^2 - c_a^2 - c_b^2$

$2v_c^2 = c_a^2 + 2c_a c_b + c_b^2 - c_a^2 - c_b^2$

$2v_c^2 = 2c_a c_b$

a vydělíme dvěma:

$v_c^2 = c_a c_b$

Eukleidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

$a^2 = c \cdot c_a$

$b^2 = c \cdot c_b$

Důkaz

Předpokládáme, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z Pythagorovy věty plyne:

$a^2 = v_c^2 + c_a^2$

$a^2 = c_a c_b + c_a^2$

$\ a^2 = (c_b + c_a) c_a$

$\ a^2 = c c_a$

Tvrzení lze elementárně dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků. Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Příklad

Mějme pravoúhlý trojúhelník $a=5 cm,\,c=8 cm$. Vypočítejte výšku $v_c\,\!$.

Platí:

$v_c^2 = c_a . c_b$

$a^2 = c. c_a\,\!$

Po dosazení do druhého vzorce:

$25 = 8 . c_a\,\!$

$c_a = 25 : 8\,\!$

$c_a = 3, 125\,\!$

Dopočet $c_b\,\!$:

$c_b = c - c_a\,\!$

$c_b = 4,875\,\!$

Po dosazení do prvního vzorce:

$v_c^2 = c_a . c_b$

$v_c^2 = 3,125 . 4, 875$

$v_c^2 = 15,23$

$v_c = 3,9\,\!$

Výška tohoto trojúhelníku je 3,9cm.