Duální kód

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Duální kód daného lineárního kódu

C\subset\mathbb{F}_q^n

je lineární kód definovaný jako

C^\perp = \{x \in \mathbb{F}_q^n \mid \langle x,c\rangle = 0\;\forall c \in C \},

kde

\langle x, c \rangle = \sum_{i=1}^n x_i {c_i}^p

a p je charakteristikou konečného pole Fq. Z hlediska pojmů lineární algebry je duální kód anihilátorem C vzhledem k bilineární formě <,>. Součet dimenze kódu C a dimenze jeho duálu je vždy roven n:

\dim C + \dim C^\perp = n.

Duální kód duálního kódu tvoří vždy původní kód.

Samoduální kódy[editovat | editovat zdroj]

Samoduální kód je takový kód, který je duální sám k sobě. Z toho vyplývá, že n musí být sudé a dim C = n/2. Samoduální kódy je možno rozdělit na čtyři typy:

  • Typ I – binární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají sudou Hammingovu váhu, ale nikoliv dělitelnou čtyřmi
  • Typ II – binární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají Hammingovu váhu dělitelnou čtyřmi
  • Typ III – ternární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají Hammingovu váhu dělitelnou třemi
  • Typ IV – samoduální kódy nad F4, jejichž kódová slova mají sudou Hammingovu váhu

Kódy typu I, II, III, respektive IV existují pouze v případě, že je délka n násobkem 2, 8, 4, respektive 2.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Dual code na anglické Wikipedii.