De Rhamův diferenciál

DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

Definice

Nechť $M$ je diferencovatelná varieta dimenze $n$ a $\Omega ^{\bullet }(M)$ je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na $M$. Pak deRhamův diferenciál $d=(d_{k})_{k=0}^{n}$ je systém zobrazení $d_{k}:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)$ definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť $\alpha \in \Omega (M)$ a $(\phi =(x^{1},\ldots ,x^{n}),U)$ jsou nějaké souřadnice z atlasu $M$. Pak pro každý multiindex $I$ existují hladké funkce $\alpha _{I}$, že $\alpha =\sum _{|I|=k}\alpha _{I}dx^{I}$ na U, kde $dx^{I}=dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$ a $I=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ a $i_{1},\ldots i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}.$ DeRhamův diferenciál $d\alpha$ formy $\alpha$ je dán předpisem $d\alpha =\sum _{|I|=k}d\alpha _{I}\wedge dx^{I},$ kde $d\alpha _{I}$ je deRhamův diferenciál funkce (0-formy) $\alpha _{I}$. Tento je definován přepisem $df=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}dx^{i}$.

Vlastnosti

$d^{2}=0$ nebo obšírněji $d_{k+1}d_{k}=0$ (diferenciál).

$d(\alpha +r\beta )=d\alpha +rd\beta ,r\in \mathbb {R}$ (linearita nad $\mathbb {R}$)

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{{\mbox{deg }}\alpha }\alpha \wedge d\beta$ (Leibnizovo pravidlo)

Poznámka

Diferenciální formu $\alpha$nazveme uzavřenou, pokud $d\alpha =0$. Diferenciální formu $\alpha$nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma $\beta$, že $d\beta =\alpha$.

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhamova komplexu) $0\to \Omega ^{1}(M)\to ^{d}\ldots \to ^{d}\Omega ^{n-1}(M)\to ^{d}\Omega ^{n}(M)\to 0$ se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy. Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

Literatura

[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish.

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.