Bernoulliho nerovnost

Bernoulliho nerovnost je využívána při dokazování složitějších matematických vět. Samotná nerovnost má tvar

$(1+x)^{n}\geq 1+nx\,;\quad n\in \mathbb {N} ,x\in (-1;+\infty )$

Důkaz

Důkaz Bernoulliho nerovnosti vyžaduje základy dokazování matematickou indukcí. V prvním kroku se ověří platnost pro první přirozené číslo $n=1$. Dostaneme $1+x=1+x$, což je zřejmá pravda. Indukční předpoklad je tedy platnost

$(\,{\text{i}}\,)\qquad (1+x)^{k}\geq 1+kx$

Po splnění výše uvedených podmínek. Ve druhém kroku se snažíme z pravdivosti (i) odvodit platnost

$(\,{\text{ii}}\,)\qquad (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$

Tvar nerovnosti (ii) lze přepsat na tvar

$(1+x)^{k}\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}$

Nyní je třeba dokázat, že platí

$1+kx\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}$

Po úpravě dospějeme ke tvaru $kx^{2}\geq 0$ z něhož lze vypozorovat, že původní nerovnost platí.

Použití nerovnosti při důkazech

Příkladem může být důkaz o existenci limity posloupnosti

$\left\{\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$

Přičemž je třeba dokázat omezenost a monotónnost této posloupnosti.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernoulliho nerovnosť na slovenské Wikipedii.