Banachova-Steinhausova věta

Banachova-Steinhausova věta neboli princip stejnoměrné omezenosti tvrdí, že je-li množina spojitých lineárních operátorů na Banachově prostoru omezená v každém bodě, pak je omezená. Větu uveřejnili roku 1927 Hugo Steinhaus a Stefan Banach, nezávisle na nich ji dokázal i Hans Hahn. Banachova-Steinhausova věta patří k základním tvrzením funkcionální analýzy.

Formálně přesně zní Banachova-Steinhausova věta v základní podobě takto: Nechť $X$ je Banachův prostor, $N$ normovaný vektorový prostor a $F$ množina spojitých lineárních operátorů z $X$ do $N$. Potom platí

$\forall x \in X: \, \sup \left\{\,||T_\alpha (x)|| : T_\alpha \in F \,\right\} < \infty \Rightarrow\ \sup \left\{\, ||T_\alpha|| : T_\alpha \in F \;\right\} < \infty.$

Literatura

• Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.