Normální podgrupa

Normální podgrupa (také invariantní podgrupa nebo samokonjugovaná podgrupa) $\mathbb {P}$ grupy $(\mathbb {G} ,\cdot )$ je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí

$\forall g\in \mathbb {G} \quad g\cdot \mathbb {P} \equiv \{g\cdot p,p\in \mathbb {P} \}=\{p\cdot g,p\in \mathbb {P} \}\equiv \mathbb {P} \cdot g$

V abstraktní algebře je normální podgrupa podgrupou, která je invariantní vůči konjugaci s každým prvkem původní grupy. Jinými slovy, podgrupa H grupy G je v G normální jen potud, pokud gH=Hg pro všechna g v G.

První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl Évariste Galois.

Jiné definice

Podmínku $\forall g\in \mathbb {G} \quad g\cdot \mathbb {P} =\mathbb {P} \cdot g$ lze přepsat do tvaru $\forall g\in \mathbb {G} \quad g\cdot \mathbb {P} \cdot g^{-1}=\mathbb {P}$. Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:

$\mathbb {P}$ je normální podgrupa $(\mathbb {G} ,\cdot )$, pokud je to její podgrupa a navíc platí

$\forall g\in \mathbb {G} ,p\in \mathbb {P} \quad g\cdot p\cdot g^{-1}\in \mathbb {P}$.

Z tohoto vztahu plyne, že $g\cdot \mathbb {P} \cdot g^{-1}\subseteq \mathbb {P}$, a protože platí i pro $g^{-1}$: $g^{-1}\cdot \mathbb {P} \cdot g\subseteq \mathbb {P} \Leftrightarrow \mathbb {P} \subseteq g\cdot \mathbb {P} \cdot g^{-1}$, je ekvivalentní $\quad g\cdot \mathbb {P} \cdot g^{-1}=\mathbb {P}$.

Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům $p\mapsto g\cdot p\cdot g^{-1}$.

Podgrupa N grupy G se nazývá normální podgrupou, pokud je neměnná v konjugaci, tzn.: Pro každý prvek n v N a g v G, prvek gng⁻¹ je stále součástí N. Zápis:

$N\triangleleft G\,\,\Leftrightarrow \,\forall \,n\in {N},\forall \,g\in {G},\,gng^{-1}\in {N}.$

Jakákoliv podgrupa, která splňuje následující podmínky, je normální. Každá může tedy být brána jako definice:

• Pro všechna g v G: gNg⁻¹ ⊆ N
• Pro všechna g v G: gNg−1 = N
• Pravý a levý soubor třídy ekvivalentních prvků N v G se shodují.
• Pro všechna g v G: gN = Ng
• N je sjednocením konjugačních tříd v G.
• Existuje jistý homomorfismus, jehož je N jádrem.

Poslední podmínka objasňuje důležitost normální podgrupy – ta je způsobem, jak vnitřně klasifikovat všechny homomorfismy definované uvnitř grupy. Např. neidentická konečná grupa je jednoduchá, pouze pokud je izomorfní vůči všem svým neidentickým homomorfním obrazům, konečná grupa je ideální pouze pokud nemá normální podgrupy primárního či prvočíselného exponentu, a grupa je neideální pouze pokud odvozená podgrupa není doplněna žádnou správnou normální podgrupou.

Příklady normálních podgrup

• Jádro homomorfismu $\varphi :\mathbb {G} \to \mathbb {H}$ je normální podgrupou, protože pokud $p$ je prvkem jádra, tedy platí-li $\varphi (p)=e_{\mathbb {H} }$, pak i $\varphi (g\cdot p\cdot g^{-1})=\varphi (g)\varphi (p)\varphi (g)^{-1}=\varphi (g)\varphi (g)^{-1}=e_{\mathbb {H} }$ a tedy i $g\cdot p\cdot g^{-1}$ je prvkem jádra.

• Podgrupa {e} skládající se pouze z identické části G a G je vždy normální podgrupou G. Prvně jmenovaná se nazývá triviální podgrupa a jestliže je jen normální podgrupou, G se nazývá jednoduchá podgrupa.

• Středem grupy je normální podgrupa.

• Komutativní podgrupa je normální podgrupa.

• Obecně, jakákoliv typická podgrupa je normální, protože konjugace je vždy homomorfní.

• Všechny podgrupy N komutativní grupy G jsou normální, protože gN = Ng. Grupa, která není komutativní, ale pro niž je každá podgrupa normální se nazývá Hamiltonova grupa.

• Měnící se grupa v jakékoliv dimenzi je normální podgrupa Euklidovské grupy; např. ve 3D výsledkem rotace, změny a zpětné rotace je pouze změna (změna viděna v zrcadle se jeví jako změna se zrcadlově obráceným změnovým vektorem.) Změna o určitou vzdálenost jakýmkoliv směrem tvoří konjugační skupinu; změnová skupina je sjednocením skupin pro všechny vzdálenosti.

• V grupě Rubikovy kostky, podgrupa skládající se z operací, které ovlivňují pouze rohové kostky, je normální, protože žádná konjugační transformace nemůže způsobit, aby transformace ovlivnila okrajové kostky místo rohových. Naopak, podgrupa skládající se z otáčení horní plochy není normální, protože konjugační transformace může přesunout horní části na spodní plochu a tedy ne všechny konjugáty prvků této grupy jsou obsaženy v podgrupě.

Centrum grupy

Mějme grupu $G$. Její podmnožina $Z(G)$ všech prvků $s$ takových, že pro všechna $g\in G$ platí $s\cdot g=g\cdot s$, se nazývá centrum grupy $G$. Centrum grupy $G$ je normální podgrupou grupy $G$.

Vlastnosti

• Normalita je udržována v surjektivním homomorfismu, a je také udržována tím, že nabývá inverzních obrazů.
• Normální podgrupa normální podgrupy určité grupy nemusí být normální. Tedy, normalita není tranzitivní vztah. Avšak, charakteristická podgrupa normální podgrupy je normální. Rovněž, normální podgrupa ústředního činitele je normální, zejména normální podgrupa přímého činitele je normální.
• Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecně, podgrupa H konečného exponentu n v G obsahuje podgrupu K normální v G a exponentem dělícím n! se nazývá normální jádro. Zejména je-li p nejmenší prvočíslo dělící třídu G, pak každá podgrupa exponentu p je normální.

Svaz normálních podgrup

Normální podgrupy grupy G tvoří mřížku podmnožiny zahrnující nejmenší prvek {e} a největší prvek G. Jsou dány dvě normální podgrupy N a M v G, průnik je definován jako

$N\wedge M:=N\cap M$

a logický součet jako

$N\vee M:=NM=\{nm\,|\,n\in N{\text{, and }}m\in M\}.$

Mřížka je kompletní a modulární.

Normální podgrupa a homomorfismus

Jestliže N je normální podgrupa, můžeme definovat násobky třídy ekvivalentních prvků jako

(a₁N)(a₂N) := (a₁a₂)N.

Toto mění soubor třídy ekvivalentních prvků na grupu nazývanou kvocientní grupa G/N. Existuje přirozený homomorfismus f: G → G/N daný f(a) = aN. Obraz f(N) se skládá pouze z identických prvků G/N, třídy ekvivalentních prvků eN = N.

Obecně, homomorfismus grupy f: G → H převádí podgrupu G na podgrupu H. Rovněž, předobraz jakékoliv podgrupy H je podgrupou G. Předobraz triviální podgrupy {e} v H nazýváme jádrem homomorfismu a označujeme ho ker(f). Ukazuje se, že jádro je vždy normální a obraz f(G) v G je vždy isomorfní vůči G/ker(f) (první isomorfní teorém). V podstatě je tento soulad rozdělením mezi skupinou všech kvocientních grup G/N v G a skupiny homomorfních obrazů v G. Můžeme také vidět, že jádro jako kvocientní mapy, f: G → G/N, je N, čímž jsme ukázali, že normální podgrupy jsou přesně jádry homomorfismu s doménou G.

Odkazy

Reference

• BERGVALL, Olof; HYNNING, Elin; HEDBERG, Mikael; MICKELIN, Joel; MASAWE, Patrick. On Rubik's Cube. people.kth.se. KTH, 16 May 2010. Dostupné online. 
• CANTRELL, C.D., 2000. Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. ISBN 978-0-521-59180-5. 
• DÕMÕSI, Pál; NEHANIV, Chrystopher L., 2004. Algebraic Theory of Automata Networks. [s.l.]: SIAM. (SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications). 
• DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract Algebra. 3. vyd. [s.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
• FRALEIGH, John B., 2003. A First Course in Abstract Algebra. 7. vyd. [s.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2. 
• HALL, Marshall, 1999. The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8. 
• HUNGERFORD, Thomas, 2003. Algebra. [s.l.]: Springer. (Graduate Texts in Mathematics). 
• JUDSON, Thomas W., 2020. Abstract Algebra: Theory and Applications. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. 
• ROBINSON, Derek J. S., 1996. A Course in the Theory of Groups. 2. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag. (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 978-1-4612-6443-9. 
• THURSTON, William, 1997. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. [s.l.]: Princeton University Press. (Princeton Mathematical Series). ISBN 978-0-691-08304-9. 
• BRADLEY, C. J., 2010. The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300 

Literatura

• HERSTEIN, I. N., 1975. Topics in algebra. 2. vyd. Lexington, Mass.-Toronto, Ont.: Xerox College Publishing. xi+388 pp s. 
• DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 1991. Abstract algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc.. xiv, 658 s. ISBN 0-13-004771-6. 

Související články

• Faktorgrupa

Externí odkazy

• Skripta Pěstujeme lineární algebru
• Normální podgrupa v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• John Baez, What's a Normal Subgroup?