Tento článek je o pojmu z oblasti diferenciální geometrie. Další významy jsou uvedeny na stránce
distribuce.
V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.
Mějme diferencovatelnou varietu
a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety
jako
. Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě
rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru
každému bodu
. Toto přiřazení značíme
. Neboli
,
kde
je okolí bodu
,
je množina (hladkých) vektorových polí na okolí
,
značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a
označuje hodnotu vektorového pole
v bodě
.
Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.
Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu
o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci
. O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod
existuje jeho okolí
a na něm souřadnice
takové, že plochy určené soustavou rovnic
![{\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}y^{1}&=&konst.\\&\vdots &\\y^{n-k}&=&konst.\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3b506d1035969fd1db2b57d8e9399532a9ad4c)
(bráno jako podmnožiny v okolí
) jsou integrální podvariety
. Souřadnice
pak nazýváme Frobeniova mapa.
Uvažujme opět diferencovatelnou varietu
a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci
. Dále nechť
je n-rozměrná vnořená podvarieta variety
, tj. existuje vnoření
. Pokud
,
kde
označuje tečné zobrazení k zobrazení
, tak podvarietu
nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.
Frobeniova věta o integrabilitě distribucí[editovat | editovat zdroj]
Buď
k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě
. Pokud platí
,
tak k
existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)
Krátce řečeno, pokud je
v involuci, tj.
, tak je
integrabilní.