Symplektický vektorový prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Symplektický vektorový prostor je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry.

Symplektický vektorový prostor formalizuje některé vlastnosti Hamiltonovy mechaniky a je analogický prostorům se skalárním součinem.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Dvojici nazveme symplektický vektorový prostor, pokud je vektorový prostor a je bilineární antisymetrická nedegenerovaná forma.

Pokud je konečné dimenze, je slovo nedegenerovanost jednoznačné. Pokud je nekonečné dimenze, označuje v literatuře slovo nedegenerovanost převážně následující dva pojmy. Bilineární formu nazveme nedegenerovanou, pokud definované předpisem je izomorfizmus vektorových prostorů. Druhé pojetí definuje nedegenerovanou, pokud pro každé , pak je

(Většinou z hlediska aplikací rozdílnost těchto dvou pojmů není podstatná.)

Tvrzeni[editovat | editovat zdroj]

Pokud je symplektický vektorový prostor konečné dimenze, potom dimenze V je sudá.

Symplektická báze[editovat | editovat zdroj]

Nechť je konečné dimenze . Bázi prostoru nazveme symplektickou, pokud pokud a ; , pokud a a pro ostatní dvojice je

(Někdy je znaménková konvence v literatuře opačná k té zvolené zde.)

Lineární Darbouxova věta[editovat | editovat zdroj]

Tato věta je paralelní k větě o setrvačnosti kvadratických forem a je speciální formou (důsledkem) Darbouxovy věty pro hladké variety.

Tvrzení: Pro každý symplektický vektorový prostor existuje jeho symplektická báze.

Symplektická grupa[editovat | editovat zdroj]

Grupou symetrie symplektického vektorové prostoru je tzv. symplektická grupa, která je označována Přesněji definujeme

Tvrzení: Symplektická grupa je Lieova grupa, pokud je reálný nebo komplexní vektorový prostor.

Související pojmy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Arnold, V., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997.
  • Marsden, J., Ratiu, T. S., Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, Texts in applied Mathematiocs, 1992.
  • Thirring, W., Lehrbuch der mathematischen Physik: Klassische dynamische Systeme, Springer Verlag Wien - New York.